固体理论-隶等离激元
在Phillips的9.2中看到了一个处理电子气体中plasma激发的巧妙方法, 应当属于一系列slave-particle(隶粒子)技巧的一种, 或许也是最早的几个例子之一. 此方法便是slave-plasma-mode(Bohm&Pines, 1953).
我们知道, 根据Thomas-Fermi屏蔽理论, 在一个引入单一正电荷的电子气体, 在RPA近似下, 如果电子气体的密度足够高, 整个系统可以进入一个按照频率 $\omega_p=\sqrt{4\pi e^{2}n_e/m}$ 振荡的玻色模式内, 而这些模式就是所谓的等离激元. 此时系统的能标大概在$10\text{eV}$左右. 但是, 在Thomas-Fermi的理论中, 这些玻色模式并不是希尔伯特中间中确定定义的激发态, 而是需要RPA近似才得以显现.
Bohm和Pines在1953年给出了一个引入集体坐标的方法恰当描述了等离激元. 这一方法几乎是完全代数的. 它通过在原系统希尔伯特空间中引入新的辅助场(事实上, 就是后面强关联系统中常见的隶粒子算符)来人为地扩大该希尔伯特空间, 这自发地为理论添加了一个规范结构, 而后, 在扩大的希尔伯特空间内, 我们得以成功地写出一个无相互作用的哈密顿量, 最后我们加上相应辅助场(隶粒子算符)数目的约束条件, 将系统限制回原来大小的希尔伯特空间, 完成整个对角化过程.
我们考虑此模型一般的相互作用哈密顿量: $\mathcal H=\sum_i \frac{p_i^{2}}{2m}+2\pi e^{2}\sum_{{k},i,j}\frac{e^{i{k}\cdot({x_i}-{x_j})}}{k^{2}}-2\pi n_e^{2}\sum_k\frac{1}{k^{2}}$. 在这里, 我们减去了电子的自能. 我们引入两个辅助场算符: ${\bf A}({\bf x})=\sqrt{4\pi c^{2}}\sum_k\theta_k\epsilon_ke^{ik\cdot x}$ 和 ${\bf E}({\bf x})=\sqrt{4\pi}\sum_k\pi _{-k} \epsilon_k e^{ik\cdot x}$, 其中$[\theta_k,\pi _{k'}]=i\hbar\delta _{kk'}$为一对共轭玻色算符. 我们令新的哈密顿量为位于扩大的希尔伯特空间 $\mathbb H\otimes\mathbb C^{2}(\pi_k,\theta_k)$上的对角化的算符: $\mathcal H'=\sum_i\frac{(p_i-\frac{e}{c}A(x_i))^{2}}{2m}+\int d{\bf x} \frac{{\bf E}({\bf x})^{2}}{8\pi}-2\pi n_e^{2}\sum_k\frac{1}{k^{2}}$. 注意, 新的希尔伯特空间一部分是费米的, 另一本部分是玻色的! 将 ${\bf A}, {\bf E}$ 的形式代入, 我们得到
$\mathcal H'=\sum_i\frac{p_i^{2}}{2m}-2\pi n_e^{2}\sum_k\frac{1}{k^{2}}-\frac{\sqrt{4\pi}e}{m}\sum_{i,k}\epsilon_k\cdot(p_i-\hbar k/2)\theta_ke^{ik\cdot x_i}-\sum_k\frac{1}{2}\pi_k\pi _{-k}+\frac{2\pi e^{2}}{m}\sum _{i,k,k'}\epsilon_k\cdot \epsilon _{k'}\theta_k\theta _{k'}e^{i(k+k')\cdot x_i}$.
对此哈密顿量做一次正则变换: 引入 $S=-\frac{1}{\hbar}\sum_{k,l}\sqrt{\frac{4\pi e^{2}}{k^{2}}}\theta_k e^{ik\cdot x_l}$, 则 $\mathcal H''=e^{S}\mathcal H' e^{-S}=\mathcal H-\sum_k\frac{\pi_k\pi _{-k}}{2}+i\sum _{l,k}\sqrt{\frac{4\pi e^{2}}{k^{2}}}\pi_k e^{-ik\cdot x_l}$. 我们现在要求两个限制:
- $\Omega_k=\pi _{-k}+2i\sqrt{\frac{4\pi e^{2}}{k^{2}}}\sum_i e^{-ik\cdot x_i}=0,\forall k$; 2. $\pi_k\psi=0, \forall k$.
这两条限制分别在说: 1. 辅助电场在实空间等价于一系列方波叠加(同时FT); 2. 辅助电场湮灭基态波函数.
而只要对这两条自由度的限制被解除, 系统就进入了原先的 $\mathcal H'$ 控制的动力学中, 从而进入了一个按照等离激元频率 $\omega_p=\sqrt{4\pi e^{2}n_e/m}$ 集体振荡的状态, 由一系列频率为 $\omega_p$ 的电磁场刻画. 这种通过在强关联费米子体系中引入玻色场算符扩大状态空间, 再给出玻色算符限制方程的方法, 在Hubburd model, Mott inuslator中都有所应用, 它们被形式化地称为隶玻色/费米子方法(slave-boson/fermion method). 这相当于实在强行定义准粒子算符, 但却在强关联体系中异常有效. 等我系统学完这套方法后再继续介绍.