固体理论-元激发
对于发生Mott绝缘化的金属, 作为一个绝缘体, 我们已经找到了它的低能有效理论, 即为Heisenberg模型, 展现出铁磁或反铁磁序, 元激发为magnon, 即为自旋波. 在这里, 长程Coulomb相互作用涌现为自旋交换相互作用. 因此可以说, 自旋(磁性)是Mott绝缘化的相互作用电子系统主导的低能物理.
根据局域-巡游二元性, 以上的图像只是极限的一端: 电子完全局域化. 而在另一端, 我们考虑相互作用的巡游电子. 若相互作用为零, 则系统可以直接用自由电子气描述; 而添加相互作用后, 系统将由新的模型描述, 这一模型就是凝胶模型. 回忆在能带理论中, 我们是将晶格部分等效地处理为一个周期势场, 作用在单电子上, 从而形成了带状的能级结构. 但是当我们focus on电子系统本身的元激发时, 能带效应并不重要, 晶格部分应当被近似为一个正电子形成的密度均匀的凝胶.
相互作用电子系统的元激发的基本图像是对费米球的"shake". 由于电子能级并没有收到周期晶格的调制, 基态就是完整的费米球, 元激发就是对费米球进行微扰, 即从费米球内部拿出一个k态电子, 放置到费米球外部的k+q态上, 等效于激发一个k态空穴和一个k+q态电子. 这时, 系统的维度本身就决定了激发的形式. 对于三维或二维固体, 基态是一个球或一个面, 这时扰动存在两支: 一支是微扰的两个费米球还存在重叠区域($q<2k_F$), 由于Pauli不相容原理, 这时允许的激发区域是有限的, 但是无能隙激发; 另一支是微扰的两个费米球完全脱离彼此($q>2k_F$), 此时构成完全对激发, 但存在相应能隙. 总之, 此时存在完整的无能隙对激发区域($0<q<2k_F$); 但对于一维固体, 基态是一条线段, 费米面只是两个费米点, 此时将不存在$0<q<2k_F$这条无能隙激发区域, 而只在$q=0,2k_F$两处存在线性的色散, 这是造成一维电子系统存在自旋-电荷分离的根本原因, 它的低能有效模型就是Luttinger液体, 是强关联的. 回到三维, 除了个别的元激发外, 三维电子系统还有更高能标的集体激发, 称为等离激元, 能标 $\omega_p=\sqrt{\frac{4\pi Ne^{2}}{m}}\sim \text{10 eV}$, 是很高的能区, 它来自Coulomb相互作用的长波部分. 我们下面详细讨论整个过程.
凝胶模型的哈密顿量有相互作用多电子部分和均匀正电荷部分构成, 对Coulomb相互作用作Fourier变换: $1/r\sim4\pi/q^{2}$, 可以证明, 在热力学极限下, $q=0$部分的自相互作用能恰好与正电荷凝胶部分的贡献抵消, 从而我们最终得到凝胶模型的哈密顿量:
$\mathcal H=\sum_{k\sigma}E_k c^{\dagger} _{k\sigma}c _{k\sigma}+\frac{1}{2}\sum _{q\ne 0}\sum _{k,k'}\sum _{\sigma,\sigma'}\frac{4\pi e^{2}}{q^{2}}c^{\dagger} _{k+q,\sigma}c^{\dagger} _{k'-q,\sigma'}c _{k'\sigma'}c _{k\sigma}$(二次量子化表象).
对这个哈密顿量的求解密度算符 $\rho _{k\sigma}=c^{\dagger} _{k\sigma}c _{k\sigma}$的格林函数, 利用无规相近似(只对圈图求和), 求极点即找到系统的元激发频率: $G(q,\omega)=\frac{\Pi(q,\omega)}{1-\frac{4\pi e^{2}}{q^{2}V}\Pi(q,\omega)},\Pi(q,\omega)=\sum _{k\sigma}\frac{n _{k\sigma}-n _{k+q,\sigma}}{\omega-\hbar \omega _{kq}+i\eta}$是Lindhard函数. 存在低能区的个别激发, 即对应电子-空穴对个别激发, 以及高能区的连续激发, 即对应等离激元, 临界频率即为等离激元频率 $\omega_q$.
进一步, 利用线性响应理论, 引入介电函数, 在RPA近似下, 有 $\varepsilon(q,\omega)=1-\frac{4\pi e^{2}}{q^{2}V}\Pi(q,\omega)$. 则元激发的色散曲线由介电函数实部为零确定; 介电函数的虚部则确定激发是否有阻尼. 我们发现, 个别激发是有阻尼的, 而等离激元则是无阻尼的. 利用介电函数的零频极限可进一步确定凝胶模型下Coulomb相互作用的屏蔽形式, 物理上对应整体正电凝胶背景对电子相互作用的屏蔽, 可以证明 $\text{Re}\varepsilon_{RPA}(q,0)\rightarrow 1+\frac{q^{2} _{TF}}{q^{2}}$, $q _{TF}$为Thomas-Fermi常数, 其倒数给出屏蔽距离. 此时, $1/r$的长程Coulomb相互作用被屏蔽为了 $e^{-q _{TF}r}/r$的Yukawa相互作用; 当系统存在杂质时, Yukawa相互作用被适当放大为长程的Friedel振荡相互作用 $\cos(2 k_Fr)/r^{3}$.