Hiloxiko 最近几天又思考了一下这个问题。向人请教,这个问题貌似应当用超对称代数来解释,beyond my power了。下面我讲讲我自己走到的地方和路途上发生的故事。
首先,教科书上二次量子化的基本程序,用偏数学的思路表述就是:多体态全体形成希尔伯特空间上的张量代数,称之为Fock空间,所有的二次量子化形式的多体态用占有数表象来描述;力学量算符由Fock空间上的$*-$代数的自对偶子代数构成,这些子代数中的每个算符都可以做算符分解,分解为产生算符和湮灭算符的乘积,后者依据Fock空间上的$\mathbb Z$滤子分别向上和向下对其进行过滤。在这里,张量代数可以分成对称部分和反对称部分,分别表示玻色子和费米子。后者关于外积由自然的代数结构,我们称之为外代数。此时,我们只是做完了统计,但和自旋毫无关联。
但是,我想可以更进一步。以下内容完全是我的遐想。我们只讨论费米子。费米子的态代数是外代数$\bigwedge(\mathbb H)$。由于$\mathbb H$上有自然的内积$\braket{·,·}:\braket{i|j}=\delta_{ij}$,而我们可以形式地将费米子的产生湮灭算符写为:$a_i:=\ket{i}\wedge,a^{\dagger} _i:=\bra i·$,其中$·:=\wedge^{\dagger}$是我构造的关于代数乘法的 $*-$对偶。二次量子化的形式步骤包含两步:第一步,将态代数$\bigwedge(\mathbb H)$做一个“代数提升”,提升成两部分,一部分中所有的态后面全部加上一个$\wedge$,另一部分是先将态代数基空间$\mathbb H$做$*-$对偶后加上一个$·$,或者说后一部分是前一部分的$*-$对偶。我们定义前者为产生算符代数($\mathfrak A(\bigwedge(\mathbb H))$),后者为湮灭算符代数($\mathfrak A^{\dagger}(\bigwedge(\mathbb H))$)。第二步,就像是把两个齿轮啮合在一起一样,我们定义产生算符代数和湮灭算符代数的融合运算$\star$,它满足$\star:\mathfrak A(\bigwedge(\mathbb H))\times\mathfrak A^{\dagger}(\bigwedge(\mathbb H))\rightarrow \text{End}(\bigwedge(\mathbb H)), a_i\star a^{\dagger} _j+a^{\dagger} _j\star a_i=i\delta _{ij}\mathbb 1$,从而将代数提升后的两个独立的算符代数融合在一起,构成一个大的算符代数,它上面所有形如$a _{i_1}\cdots a _{i_k}a^{\dagger} _{j_1}\cdots a^{\dagger} _{j_k}$的算符及其线性组合可以表示一个力学量算符。这一大的费米子算符代数,就是所谓的对外代数形变后的Clifford代数$\mathbb C\text{l}(\braket{i|j})$。这也就完成了二次量子化的代数表述。
可是还没有完。我们知道旋量代数藏在$\text{Cl}(1,3)$中,而不是这里的$\mathbb C\text{l}(\braket{i|j})$。但是,我意识到以上的二次量子化是根据凝聚态风格进行操作的,也即这里是背景无关的,或者说是一个格点背景——每一个态构成一个格点。要想将理论变成一个场论,就需要进行连续化,而直觉上这就是将格点度规$\braket{i|j}$连续化成相对论协变的闵氏度规$(-,+,+,+)$,那么也就是为每个$\ket{i}$赋予一个4参量坐标 $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$。
这实际上就是将Fock空间安置在底流形 $\mathbb R(1,3)$上,此时的Fock空间可以看成上面的一个纤维丛。这一操作,直觉上讲同时地将$\mathbb C\text{l}(\braket{i|j})$实化为$\text{Cl}(1,3)$,它由$\gamma^{\mu},\mu=0,1,2,3$生成,从中涌现出$\mathbb R(1,3)$的旋量表示。也就是说,我们得到了费米子的自旋结构。