固体理论-铁磁性
我们现在已经知道, 固体中多电子哈密顿量可以写作 $\mathcal H=\sum_i[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla_i^{2}+V({\bf r}_i)]+\frac{1}{2}\sum _{i\ne j}\frac{e^{2}}{|{\bf r} _i-{\bf r} _j|}$, 其中 $V({\bf r} _i)=V({\bf r} _i+{\bf R})$为周期势场. 前面已经提到, 多体库伦相互作用可以通过HF近似或DFT(KS方法)划归为单体形式, 其中前者是真实的单电子近似, 后者仍是多体的.
现考虑金属. 哈密顿量可以被改写为如下的二次量子化形式: $\mathcal H=-t\sum _{\braket{ij}}\sum _{\sigma\sigma '}c^{\dagger} _{i\sigma}c _{j\sigma'}+U\sum _{i}n _{i\uparrow}n _{i\downarrow}+\frac{e^{2}}{2}\sum _{i\ne j}\sum _{l\ne k}\sum _{\sigma\sigma'}\braket{ij|\frac{1}{r}|lk}c^{\dagger} _{i\sigma}c^{\dagger} _{j\sigma'}c _{l\sigma'}c _{k\sigma}$. 其中我们特别取出单占据项, 并赋予很大的相互作用系数 $U\gg|t|,\frac{e^{2}}{2}\braket{ij|\frac{1}{r}|lk}$. 在紧束缚条件下, 此哈密顿量的前两项就是著名的Hubbard模型, 在large U的条件下, 此金属会发生Mott化, 变成一块Mott绝缘体, 因此电子的波函数可以选择Wannier空间波函数直乘一个旋量函数. 从而, 整个系统中的电子全部局域化, 满足单占据条件 $n _{i\uparrow}+n _{i\downarrow}=1$. 继而可以证明, 四费米子项将只剩下双占据项 $\braket{ij|\frac{1}{r}|ij}c^{\dagger} _{i\sigma}c^{\dagger} _{j\sigma'}c _{i\sigma'}c _{j\sigma}$ 非平庸, 这一项代表了格点间的自旋交换作用.
在低温时, 这一自旋交换相互作用会带来铁磁/反铁磁序的涌现. 对于Mott绝缘体, 单占据条件使得我们可以对费米子代数做变换 $\sigma^{z} _i=c _{i\uparrow}^{\dagger}c _{i\uparrow}-c _{i\downarrow}^{\dagger}c _{i\downarrow}, \sigma _{i}^{+}=2c _{i\uparrow}^{\dagger}c _{i\uparrow}, \sigma _{i}^{-}=2c _{i\downarrow}^{\dagger}c _{i\downarrow}$, 从而将电子-电子相互作用变为真正的自旋-自旋相互作用: $\mathcal H _{ex}=-\frac{J}{4}\sum _{ij}{\bf S} _{i}\cdot{\bf S} _j$, 这一项被称为(各向同性)Heisenberg项. 当 $J>0$时, 系统基态即为每个格点自旋平行, 从而属于铁磁相; 当 $J<0$时, 系统基态倾向于两个相邻格点间自旋反平行, 但由于不同的晶格结构会带来不同的几何阻挫, 这一基态无法直接写出来, 但它属于反铁磁相.
对于铁磁体, 通过Holstein-Primakoff变换, 可以将自旋代数再变为玻色子代数, 在低能近似+紧束缚近似下, Heisenberg项转变为一个玻色紧束缚项, 转换到k空间即得一个自由谐振子项, 对应magnon激发, 即为自旋波的量子, 它作为铁磁体的低能玻色激发, 具有长波色散 $\omega\sim k^{2}$, 有限温下, 相应的磁化强度即为 $M\sim T^{3/2}$.
对于反铁磁体, 可将晶格分为上自旋子格和下自旋子格, 即为Kubo反铁磁体双子格模型. 这样, 对两套自旋算符做HP变换, 得到一个双玻色耦合哈密顿量, 转换到k空间再做Bogoliubov变换解耦, 我们就得到反铁磁的双magnon低能激发, 具有长波色散 $\omega\sim k$, 有限温下, 相应的磁化强度为 $M\sim T^{3}$, 与声子的Debye解类似. 对于反铁磁, 其基态总自旋虽为零, 但基态本身并不是Neel态, 而是一个具有阻挫结构的叠加态.
铁磁/反铁磁体的磁化强度还可以通过格林函数进行微扰求解, 原则上精度更高. 对于玻色/费米系统, 可以定义相应的推迟格林函数, 根据谱定理, 零时期待值 $\braket{BA}=\int _{-\infty}^{\infty}J(\omega)d\omega=-\frac{1}{\pi}\int _{-\infty}^{\infty}\frac{ImG _{AB}^{r}(\omega)}{e^{\beta\hbar\omega}+\epsilon}d\omega$, 因此, 若想求解磁化强度 $\braket{S^{z}}=\frac{1}{2}-\braket{S^{-}S^{+}}$, 即需去求 $G _{S^{+}S^{-}}^{r}$, 而后者可根据运动方程迭代求解. 对运动方程施以Tyablikov切断近似(一阶近似), 即求得更精确的磁化强度, 可证明对铁磁体, 自旋波结果是格林函数结果的长波近似. 因此, 自旋波图像只在低温时有效.