量子场论-自由Dirac场
目前为止我所知的关于Dirac场的故事是这样的:
在闵氏时空$\mathbb R^{1,3}$上自然生长着Clifford代数Cl(1,3),它是由4个小$\gamma$基生成的,满足Clifford关系。Cl(1,3)中藏有自旋群$\text{Spin}(1,3)$,也典范地构成了$\mathbb R^{1,3}$上的自旋主丛。自旋群作为时空旋转群$\text{SO}(1,3)_+$的双重(万有)覆盖,同构于$\text{SL}(2,\mathbb C)\cong\text{SO}(1,3) _+/\mathbb Z_2$,其代数构造$S^{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]$给出$\mathfrak{spin}(1,3)\cong\mathfrak{so}(1,3) _+$李代数同构,其表示也自然成为了$\text{SO}(1,3) _+$的旋量表示,给出$\Lambda _{\frac{1}{2}}=\exp(-\frac{i}{2}\omega _{\mu\nu}S^{\mu\nu})$,其丛相应地给出一个旋量伴丛。旋量伴丛的截面构成了$\mathbb R^{1,3}$上的一个旋量场。
自旋群$\text{Spin}(1,3)$的表示空间可以分解为两个不可约表示空间的直和。这两个不可约表示空间分别是左手Weyl表示$(\frac{1}{2},0)$和右手Weyl表示$(0,\frac{1}{2})$,其中的元素的分别称为左手Weyl旋量和右手Weyl旋量。两个Weyl旋量的最简单直和旋量是Dirac旋量,相应的表示$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=(\frac{1}{2},0)\oplus(0,\frac{1}{2})$是Dirac表示,相应的旋量丛截面是Dirac场,它在每个时空点上生长着一个Dirac旋量作为场的波函数(由于此时还没有量子化,这一波函数完全是经典的)。在Dirac表示下,我们简称所有作用在Dirac旋量上的算符构成的代数为旋量代数,它是伴随于Cl(1,3)的。特别地,Cl(1,3)中可以自身生成16个Lorentz反对称张量,其中具有一特别赝标量$\gamma^{5}$ ,它反映了Dirac场的手性,$[\gamma^ 5,S^{\mu\nu}]=0$告诉我们Dirac表示是可约的。
Dirac旋量满足的一次量子化相对论协变的运动方程是Dirac方程。旋量代数中的任一协变4-矢量算符或者更高的张量算符都必须将相应的Lorentz指标与Cl(1,3)的代数生成元小$\gamma$做缩并,形成Dirac slash算符:$\mathcal O \mkern -12.5 mu /=\gamma^{\mu}\mathcal O_\mu$。同时,旋量的共轭也必须于$\gamma^ 0$ 相伴,形成Dirac共轭:$\bar\psi=\psi^ \dagger \gamma^ 0$,才能是相对论协变的。在这些基础上,可以构造出最简单的拉氏量标量$\mathcal L=\bar\psi(i\partial \mkern -9.5 mu /-m)\psi$,给出运动方程Dirac方程$(i\partial \mkern -9.5 mu /-m)\psi=0$。Dirac方程可以伴随Dirac表示的约化解耦为左右手Weyl方程,它们分别描写左右手Weyl旋量的运动。一次量子化过程还伴随着对庞加莱群$\text{SL}(2,\mathbb C)\rtimes \mathbb R^ 4$的幺正表示过程,其拥有的Casmir算符正给出质量量子数和自旋量子数,标记了所有的量子态。在massless情况下,则给出螺度量子数,标记了特殊的光子态。特别地,massless情况下,左右手Weyl方程的解构成螺度算符的一对本征态,描述了光子的左右旋。一般地,在有质量的情况下,Dirac方程的解有正频和负频两个解,它们构成了自旋-1/2空间的本征谱。另外,Dirac场在$\text{U}(1)$变换和由$\gamma^ 5$生成的手征变换下具有两种对称性,后者在massless情况下保持,分别对应两个诺特流:$\text{U}(1)$规范流$j^{\mu}=\bar\psi\gamma^ \mu\psi$和轴矢流${j^ \mu}^ 5=\bar\psi\gamma^{\mu}\gamma^ 5\psi$。
Dirac场的二次量子化由提升Dirac旋量为反对易产生-湮灭代数完成:将旋量代数形变为Clifford型代数,满足$[\psi_a({\bf {x}}),\psi^ \dagger_b({\bf {y}})]_ +=\delta^{(3)}({\bf x-y})\delta_{ab}$。一个场算符可以分解成正反费米子产生-湮灭算符的模式叠加:
$\psi(x)=\int\frac{d^ 3p}{(2\pi)^ 3}\frac{1}{\sqrt{2E _{{\bf p}}}}\sum_s(a^ s _{{\bf p}}u^ s(p)e^{-ipx}+{b^ s}^{\dagger} _{{\bf p}}v^ s(p)e^{ipx});$
$\bar\psi(x)=\int\frac{d^ 3p}{(2\pi)^ 3}\frac{1}{\sqrt{2E _{{\bf p}}}}\sum_s(b^ s _{{\bf p}}\bar v^ s(p)e^{-ipx}+{a^ s}^{\dagger} _{{\bf p}}\bar u^ s(p)e^{ipx}).$
我想至此,关于自由Dirac场的基本构造已经清晰了。