《几何和拓扑的概念导引》古志明
最近的三周多以来一直在抽空看的书,今天利用一个还算不错的周末,终于是合上书页了。先来简单介绍一下内容,再做一点评价。
附录
等价关系
等价关系,模$q$同余关系,等价类,代表元,商集合,商映射,笛卡尔乘积,映射的图像
代数
群,单位元,逆元,交换群,左陪集(右陪集),正规子群,商群,群同态,群同构,群同态基本定理及其简单推论,环,单位元,交换环,理想,同余类环,零因子,整环,生成的理想,域,代数,交换代数,双线性函数,多重线性函数,非退化的,对称的,交错的
常微分方程
常微分方程基本定理
Chapter1 变换群与几何学
1.1 引言
爱尔兰根纲领,几何不变量,全变换群,变换群,例子:平移映射,仿射映射
1.2 仿射坐标变换
几何向量,相等,切空间,标准平移,仿射结构,仿射标架,坐标,仿射坐标,仿射坐标变换式
1.3 超平面
超平面,超平面的代数意义,切标架,平行,余维数为$q$的超平面,横截相交的,仿射子空间
1.4 二次超曲面
二次超曲面,二次超曲面的秩,$n$元二次多项式经变换后的三种形式,二次超曲面的三种基本方程,奇异点,非奇异的(光滑的)二次超曲面
1.5 仿射变换群
仿射变换,仿射变换群,齐次仿射变换,平移变换,平移群,切映射,最广点组(仿射无关点组,一般位置),重心坐标
1.6 仿射几何学大意
仿射等价的,仿射不变量,二次超曲面,二次曲线按照仿射等价的分类的种数
1.7 等距变换群
距离函数,欧几里得空间(欧氏空间),幺正标架(正交标架),直角坐标,等距变换,等距变换群,等距等价,等距不变量,欧氏几何学(度量几何学),运动,运动群,旋转,旋转群,欧拉角
1.8 体积问题
$n$维平行多面体,体积,有向体积,有序基,方向,定向,已定向,保持定向的,反转定向的
1.9 射影平面
实射影空间$\mathbb{RP}^{n}$,扩大的仿射平面,齐次坐标,射影直线,射影二次曲线
1.10 射影变换
射影变换,射影变换群$\mathcal{PJ}_{n}$,实射影空间$\mathbb{RP}^{n}$中二次曲线关于射影等价的标准曲线方程,复射影空间$\mathbb{CP}^{n}$,拼接关系,分式线性变换
1.11 群在集合上的作用
左作用(右作用),作用,有效的,自由的,共轭作用,单参数变换群,轨道,轨道空间
Chapter2 微分流形
2.1 引言
2.2 $\mathbb{R}^{n}$中的映射的连续概念
邻域,开集,闭集,内部,闭包,$a$在$A$中的一个邻域,拓扑子空间,连续映射,分量函数,紧致的,道路(路径),道路连通的,同胚,同胚映射,球极投影
2.3 $\mathbb{R}^{n}$中的映射的微分概念
微分,可微映射,导数,$F$在$a$的秩,$C^{1}$类的,$C^{r}$类的,链式法则,微分同胚映射(微分同胚),参数化曲线,切向量,$f$沿方向$v$的导数
2.4 隐函数定理
反函数定理,隐函数,隐函数定理
2.5 正则超曲面
正则超曲面,余维数为$q$的正则超曲面,$C^{r}$类参数化曲线,切向量,切空间,法向量,法空间
2.6 微分流形
微分流形,局部欧氏性质,坐标邻域,坐标映射,坐标图(坐标卡),图册,过渡映射(转移映射),相容性,积流形,环面,商流形
2.7 可微映射
$C^{r}$类映射,局部表示,泛复叠映射,对径映射,复叠映射,$C^{r}$类同胚映射
2.8 切映射
导数,$f$在点$a$处的微分,切映射(微分),算子观点,自然基,$F$在$a$处的秩,切向量
2.9 子流形
子流形,嵌入,H.Whitney嵌入定理,临界点,正则值,萨德定理
2.10 单位分解
单位分解,从属于开覆盖
Chapter3 切丛与向量场
3.1 切丛与向量场的基本知识
切丛,标架场,局部平凡性,丛投影,截面,切向量场(向量场),积分曲线,零点(平衡点)
3.2 相流
流线,相流,平移流,相流$\Phi$诱导的向量场,单参数变换群,局部单参数变换群,无穷小生成元,线性向量场,线性相流,旋转流
3.3 李导数与括号积
Lie导数,光滑流形,光滑映射,$F$保持向量场不变,Poisson括号,李代数
3.4 弗罗贝尼乌斯定理
$k$维切子空间,$k$秩分布,弗罗贝尼定理,标架场
Chapter4 微分形式
4.1 代数预备知识——对偶空间
对偶空间,对偶基,度量矩阵,逆变坐标,协变坐标,余向量,对偶映射
4.2 余切空间
余切向量,光滑函数芽,余切映射
4.3 一次微分形式
余切丛,余投影,1次微分形式(余切向量场),余标架场,内积,切子空间场
4.4 代数预备知识——外积
外积,外代数(Grassmann代数)
4.5 一般微分形式
$r$次微分形式,外积
4.6 外微分运算
外微分,外微分运算,辐角形式,闭的,恰当的,星形区域,Poincare引理,Pfaff方程,弗罗贝尼乌斯定理的第二形式,内积
4.7 链上的积分
第一类积分,第二类积分,$m$维单纯形($m-$单形),顶点,$n$维标准单纯形,$q$维奇异单形,$q$维奇异链,$q$维奇异链群,在链$c$上的积分
4.8 斯托克斯公式
$\Delta^{q}$的第$i$个$q-1$维面,边缘链$\partial s$,Stokes公式
4.9 流形上的积分
可定向的,表示定向的图册,定向形式,有边缘的$n$维$C^{r}$类流形,边缘,边缘点,诱导的内向,内向,向外指,Mobius带,$w$在定向流形上的积分,Stokes公式
4.10 应用——辛形式
Hamilton正则方程组,相空间,位形空间,辛形式,辛流形,质点系的Hamilton力学,Hamilton函数的Hamilton向量场
Chapter5 李群
5.1 基本概念
李群,左平移(右平移),左不变向量场(右不变向量场)$\mathrm{la}G$,李群$G$ 的李代数,单参数子群,扩张定理,指数映射,李群同态,李群同构
5.2 若干重要的例子
$GL(n,\mathbb{R}),gl(n,\mathbb{R}),O(n),SO(n),so(n)$,$SO(3)$的参数化,$U(2)$
5.3 李群的表示
线性表示,复表示,实表示,表示的维数,自然表示,$G-$空间,$G-$同态,同构,等价表示,不变子空间,子表示,子空间,直和,不可约的,舒尔引理,不变内积,酉表示(正交表示),特征标,特征标群,李代数$\mathrm{la}G$的表示
5.4 李群$SU(2)$与$SO(3)$
四元数,伴随表示,双值表示,摄影表示,旋量,内自同构,Pauli矩阵,Clifford代数
5.5 李群在流形上的应用
左作用,作用,左基本形式,1次微分形式,矩阵值1次微分形式,结构方程,结构常数,基本向量场
5.6 应用——力学中的对称性
余切提升,Hamilton作用,辛作用,Noether定理
Chapter6 微分几何的基本概念
6.1 曲率概念速成
曲率,曲率向量,主法向量,曲面片,第一基本型,第二基本型,法截线,法曲率,魏恩加腾变换,主曲率,主方向,欧拉公式,高斯曲率(总曲率),平均曲率,高斯映射
6.2 联络与平行移动
协变导数,联络形式,联络矩阵,联络,协变微分(绝对微分),向量值1次形式,沿着$\gamma$是平行的,平行移动,平移同构,测地线,曲率矩阵(曲率形式),比安基恒等式,曲率算子
6.3 黎曼流形的概念
度量矩阵,黎曼度量,黎曼流形,弧长,线元,嵌入$\mathbb{R}^{m}$得到的度量,罗巴切夫斯基几何的庞加莱模型,双曲度量,球面度量,非欧几何,梯度,等距映射,等距等价的
6.4 黎曼流形上的相容联络
与度量相容的联络(列维-奇维塔联络,L-C联络),结构方程,高斯曲率
6.5 几点注释
内蕴的微分几何,嵌入,局部等距映射,广义黎曼度量,闵可夫斯基空间
6.6 纤维丛的概念
底空间,$k$维实向量丛,局部平凡条件,全空间,丛投影,纤维,局部平凡邻域,局部平凡化,线丛,乘积丛,拼接函数,拼接函数族,结构群,Mobius丛,截面,标架场,对偶丛,纤维丛,局部平凡条件
6.7 活动标架法
运动群$\mathcal{R}_n$的基本形式,Darboux标架场,Codazzi方程,弗罗贝尼乌斯定理的第二形式,曲面论基本定理,定向幺正标架丛,主丛,Darboux标架丛,全局截面
6.8 自然界中的联络
庞加莱变换,电磁场的强度,量子态,可观测量,可观测量的平均值,粒子的动量,薛定谔方程,波函数,外尔的规范不变性原理,杨振宁和R.L.Mills的推广
Chapter7 从微分流形看拓扑学
7.1引言
欧拉示性数,拓扑不变量
7.2 德拉姆上同调
原函数,中心力形式,de Rham上同调群,上同调类,同调的,零调
7.3 同伦
同伦,伦移,零伦的,锥,顶点,可缩的,单连通的,同伦型(同伦等价),同伦等价映射,同伦逆收缩核,收缩映射,管状邻域
7.4 德拉姆上同调的同伦型不变性
诱导的上同调同态
7.5 计算方法——正合序列
正合(恰当),正合序列,短正合序列,分裂性,Mayer-Vietoris序列,Kunneth公式
7.6 同调群
欧拉示性数,贝蒂数,homology和cohomology的联系,$q$维整系数奇异同调群,$q$维闭链,$q$维边缘链,同调,实系数同调群,单纯同调群,单纯剖分,可单纯剖分的
7.7 德拉姆定理
德拉姆定理,奇异上同调群,欧拉-庞加莱公式
7.8 庞加莱对偶,映射度,相交数
上同调代数,基本闭链,基本同调类,庞加莱对偶性,对偶同构,积分同构,基本上同调类,闭曲面,映射度,霍普夫分类定理,$P-$对偶元,相交数,横截的,横截性原理
7.9 应用
不动点,布劳威尔不动点定理,代数基本定理,环链数,Lefschetz数
7.10再谈纤维丛
等价映射,等价于,平凡丛,线性无关的,横截的,指标,庞加莱-霍普夫定理,高斯-博内定理
7.11 几点注释
亏格,庞加莱猜想,胞腔,非退化临界点,指标,Morse函数,同伦群(基本群),霍普夫丛,霍普夫映射,霍普夫不变量,复叠空间,复叠映射,泛复叠空间,同伦提升性质,诱导丛
Chapter8 代数曲线浅说
8.1 代数预备知识——极大理想与素理想
分式域,有限生成的,极大理想,素理想,局部环,特征,代数闭域,希尔伯特零点定理
8.2 仿射代数簇
仿射代数集,由理想$i$确定的仿射代数集,可约的,仿射代数簇,多项式函数,坐标环,多项式映射,同构映射,同构,有理函数域,有理函数,在$P$处的局部环
8.3 平面代数曲线
平面代数曲线,次数,有理映射,双有理映射,双有理等价,有理曲线,Weierstrass标准形,欧拉变换
8.4 奇异点
奇异点(奇点),非异的(光滑的),重数,重点,单点,椭圆曲线,局部参数,零点$P$的阶,重交点,切锥,切线,通常奇点
8.5 射影代数簇
域$\mathbb{K}$上的$n$维射影空间,齐次多项式,齐次理想,射影代数集,射影簇,有理映射,有理函数,正则映射,双有理等价的,同构,仿射片,标准仿射图,非奇异点,非异的(光滑的),代数流形
8.6 再谈平面代数曲线
射影平面代数曲线,仿射化,齐次化,贝祖定理,群结构的问题
8.7 黎曼曲面简介
全纯函数,全纯映射,唯一性原理,极大模原理,复流形,全纯图册,黎曼曲面,黎曼球面,全纯函数,全纯映射,亚纯函数,亚纯函数域,复曲线,(复)代数流形,代数函数,代数函数的黎曼曲面,单值分支
8.8 几点注释
函数芽,芽稳定,椭圆曲线,椭圆积分,椭圆函数,紧黎曼曲面,单值化定理,亏格,亚纯微分,全纯微分,Riemann-Roch定理,素谱
PS,相当于只列出来了定义,并没有定理,只是起到很大概的总结内容的作用。
评价:
最近的三周多的很大一部分空余时间一直在看这本书,(具体其他时间什么的以后再说)读罢觉得作为一本introduction性质的书,还是相当成功的;虽然全书的主题仍然是很偏分析的,第2-7章都是分析为主(好吧,第七章是代数拓扑),缺点自然是感觉代数味不够浓——但是本书对代数知识要求感觉也蛮高的,不是单纯的分析,仿射空间、射影空间、代数曲线等理论还是需要代数基础的,更别提李群、同调群等玩意了。
我的感受是,因为我对几何还真的只是刚刚入门的水准,别的好书也远远来不及去看,所以就我有限的认知而言,这本书还是编的相当合理而有趣的,引入动机也写的很详细,重视应用这一点也做到了,而且对前置知识的要求确实不高——线性代数、微积分(前两个学期的)、群论基础、一点常微分方程的基础即可,我觉得,一年级学完就完全没有问题了,而且刚开始读起来也会比较轻松,毕竟“硬核”程度是不如柯斯特利金或者卓里奇的,这里的硬核指的是,知识的量与所占用篇幅的比例,这本书肯定相对写的更详细一点,读起来相当友好。
此外,对比读完,我觉得我还是对代数几何(虽然篇幅不多)感觉更加良好,微分几何、代数拓扑读到后面甚至稍微有点读不懂了......可能我以后会选择偏向代数的道路吧。
更得好累,就说到这里吧,总之挺推荐这本书的,而且也不一定要像我一样全部读完,根据自己的兴趣需求读一部分即可——当然,还得注意前后文连贯的问题,详情可以参考上文。