第三章 域
3.1域的单扩张
素体,素体同构于$\mathbb{Q}$或$\mathbb{Z}_p$,
素域,特征,$F$添加$S$所得的域($S$在$F$上生成的域),单扩域,单代数扩域,单超越扩域,$\alpha$在$F$上的不可约多项式,$F(\alpha)$是线性空间,等价扩张,同构,$F$自同构,共轭,共轭元素
单看这一节的话,还是比较温和的:作为域的第一节,它承接了上一章尤其是最后一节的结论,虽然具体例子不多(这个在课后题中较好地弥补了这一点)。
习题似乎没有什么太有意思的,不过计算题还是值得一做。
3.2有限扩张
扩张次数,有限扩张,代数扩张,超越扩张,有限扩张一定是超越扩张,$[K:F]=[K:E][E:F]$,单代数扩张升链,代数闭包
这一节整体看来感觉仍然较为温和。不过需要花一定的心思厘清概念,前两节的定义还是很多的。
习题的7比较有意思。前两道的计算题也可以做做。本章作为计算题的练习都是蛮有意义的,至少对我而言,确实能救我大命,对于知识的帮助理解很有益。
3.3分裂域 正规扩张
分裂域,分裂域的存在性,$K$是$F$的分裂域且$\mathrm{deg}f(x)=n$则$[K:F]\leq n!$,同构开拓,不同开拓的个数,分裂域的唯一性,自同构的个数满足的关系(其实就是伽罗瓦群)
习题出现了代数数域
从这一节分裂域开始难度加大,甚至貌似作者都是这么认为的:在这一节才有贴心的具体例题来辅助理解,前两节就没有这样的待遇(笑)。比较好的一点是,在证明关于同构开拓的定理时运用交换图且将映射分解地很好,因而很容易理解。
习题的2,9比较有意思。
3.4可分多项式 完备域
形式微商,形式微商的性质及其与根的关系(在不同特征的域下),可分的不可约多项式,可分多项式,$\mathrm{char}F=p>0$,$f(x)$不可分不可约多项式,$K$为$f(x)$的分裂域,则有分解
$\displaystyle f(x)=c\prod_{i=1}^{r} (x-\alpha_i)^{p^{e}}$
并且有$\displaystyle h(x)=c\prod_{i=1}^{r} (x-\alpha_i^{p^{e}})$
是可分的不可约多项式且有$\displaystyle f(x)=h(x^{p^{e}})$,简约次数,完备域,完备域的充要条件
习题出现了导子,判别式
这一节难度较上一节较小,但仍有一定难度:前半部分形式微商应该很容易,后半部分尤其是可分的概念一定要熟记,至于可分和不可分多项式的相关定理,本节涉及的难度不大。
习题的2,5,7比较有意思。判别式的补充题可以作为练习。
3.5可分扩张 本原元素
可分元素,不可分元素,可分扩张,不可分扩张,有限可分扩张一定是单代数扩张、以及证明该定理所需的引理,本原元素
习题出现了可分闭包,纯不可分元素,纯不可分扩张;补充题出现了范数与迹的概念,对于后续交换代数等的学习有作用
上一节可分多项式的威力初步体现在了此处,本节的抽象性较强,不过,相比伽罗瓦理论的核心来说,这只是个开始(笑)
习题的9,10,12,13比较有意思。补充题非常有意思。
3.6代数学基本定理
韦达定理,奇数次实系数多项式一定有根,次数大于零的实系数多项式一定有复根,代数基本定理
习题出现了极小模原则,Liouville定理
反正这节我是比较粗略地看过去了...不过可以在休闲的时候看一看,不过总感觉本书在这一方面写的不算很深入。
补充题可以作为练习。
第四章 群
4.1群的生成组
生成的群,生成组,有限生成的,轮换,对换,分解成不相交轮换,分解成对换
习题出现了换位子,换位子群
这一节的知识比想象中的杂糅一点,讲了群的生成组和置换的基本性质,对标柯斯特利金第一卷的1.8小节。整体而言作为群的第一节,并没有什么难度。只不过私以为,这个编排顺序有点奇怪,域已经做好了热身,就转过头来讲群,有点奇怪。
习题的3,6,11,12,14比较有意思。
4.2群在集合上的作用
群在集合上的作用,左右平移作用,可递的,齐性空间,有效的,群作用和变换群的同态,轨道,迷向子群,作用等价,共轭类,共轭,中心化子,中心
习题出现了周期群,共轭子群,正规化子,共轭的,双重可递
首先仍然忍不住吐槽本书在中文名词及对应符号上面与柯斯特利金或席南华不一致的问题,可能会读起来不舒服。其次,这一节讲的不够深入,建议看柯斯特利金第三卷的1.3节对应部分,抽象性与深刻性更佳。这一节概念较多,使得其虽然不够深入但是也有一定难度,不过对初学者而言算是比较友好的了。
习题的1,3,4,5,8,9,10,12,14,15,16比较有意思。
4.3Sylow子群
$p$群,$p$群的基本性质,引理
$\displaystyle p^{l-k} || C_n^{p^{k}}$,Sylow三定理及其证明,单群
属于是中规中矩,核心还是Sylow三定理,证明顺序也是依次进行的,和柯斯特利金的顺序略有不一致,不过讲的还是没有柯斯特利金深入。结尾的单群给了我们应用Sylow定理解决问题的例子。
习题的1,4,9,11,12,13,15比较有意思。
4.4有限单群
有限单群,Abel群为单群iff其阶为素数且此时必为循环群,证明5阶以上交错群为非Abel有限单群,科普了Lie型单群和散在单群的内容
本节给人的感觉更像是一种科普,中心在于证明5阶以上的交错群是有限单群,内容很不够丰富。对于柯斯特利金与席南华出现的对于证明$PSL(n,F),|F|\neq2,3,n\neq2$为单群的结论,也只是在节末用了一句话介绍(并向你扔了一份参考文献),需要看别的书作为补充。
习题的6,8,11比较有意思。
4.5群的直积
扩张,扩张的核,(短)正合序列,等价扩张,正合列的性质,非本质扩张,半直积,平凡扩张,内直积,中心扩张,直积,外直积,正规子群的充要条件
习题出现了亚循环群,完备群
用扩张和正合列引入直积与半直积的概念比较新颖,值得一看。不过,这就是先把域论放到群论之前的原因吗......还是感觉这样做,整体而言效果可能就没有那么好了。整体而言,这一节难度中等,不过对正合列一定要掌握好。
习题的1,2,3,6,8,11比较有意思。
4.6可解群和幂零群
换位子,换位子群,换位子群的性质,次正规序列,长度,因子,正规序列,导出列,降中心列,升中心列,可解群,幂零群,可解群的构造,幂零群的构造,幂零群的基本性质
说实话,我在最开始看到这一块的时候并没有掌握......感觉难度好大,别看上面列出的概念少,其实我感觉相当难懂,有点混淆,看完柯斯特利金的对应部分后好了一点,但是也不敢说自己懂了。
习题的2,3,5,6,9比较有意思。
4.7Jordan-Hölder定理
(次)正规序列的同构,Zassenhaus定理,Schreier定理,合成主序列,Jordan-Hölder定理,算子群,算子,特征子群,完全不变子群
习题出现了升链条件(Noether环),降链条件(Artin环)
由于承接上一节,毫无意外地,本节难度依旧较大,不过本节的例子变得更多且更友好了,因而理解程度上竟然感觉比上一节要好一些。关于算子群的概念,由于经典群论的很多结构和性质都可以平行迁移到其上,因而感觉掌握起来难度也不是很大。顺带一提,如果善于画交换图的话,前面三个定理会好理解的多。
习题的2,7,8比较有意思。
4.8自由幺半群与自由群
字,空字,自由幺半群,相邻的,由$X$生成的自由群,自由群的同态关系,关系集,可有限表现的,生成关系
这一节感觉不过深入,因为后续的有关有限生成的Abel群的基本定理放在了后面,因而难度也相对较为简单,结合实例会很好理解。
习题的2,5,6比较有意思。
4.9点群
点群,第一类点群,第二类点群,点群的基本性质,主要研究第一类点群,极点,极点集只能分成两个或者三个轨道,两个轨道的情况,三个轨道的情况,二面体群,正四面体群,正八面体群,外接立方体,内接立方体,正二十面体群,内接正十二面体,黄金分割数
补充题出现了Burnside Lemma
这一节也像是科普性质的(甚至没有一道课后题,补充题不算),介绍的也不是很难,因为写的很详尽。具体可以参考柯斯特利金第三卷3.3《有限旋转群》。
补充题的1,4,5比较有意思。最后几道补充题为组合数学的相关内容。
第五章 模
5.1自由模
秩n的自由摸,基,成为基的充要条件,坐标,两组基的势相等,过渡矩阵,n阶方阵环,矩阵,线性群
习题出现了线性相关的,线性无关的
比较基本的内容,在模论的第一节里并没有怎么为难(新手)读者,比较良心。交换图与出现的比较多的线性空间的例子以及与线性空间的类比使得其通俗易懂。
习题的5,8比较有意思。
5.2模的直和
直和,直和的同态,直和的充要条件,内直和,无关的
习题出现了可分解模,不可分解模
这一节仍然与之前的线性代数联系较大,在柯斯特利金或者席南华第二卷的第一章以及说的比较透彻了,现在换成模的语言来,应该也不难理解。
习题的3,4,5比较有意思。习题的7,8是很重要的结论,不过书上貌似没有标出来。
5.3主理想整环上的有限生成模
子模的秩不大于原来的自由模的秩,主理想整环上有限生成模的子模也是有限生成的,扭元,自由元(无关元),扭模,无扭模,主理想整环上有限生成的扭模是自由模,零化子,扭元的集合$\mathrm{Tor}M$及其商集,主理想整环上有限生成模的分解:$M=\mathrm{Tor}M\oplus N$,$N$是自由子模且在同构意义下唯一
个人感觉,开始出现难度,不过仍然不是很难。难度来源于开始变得抽象了(与线性空间联系看起来少了一点),且零化子、扭模等概念比较多,慢慢看应该没有问题。例5.3.2可以为直观理解提供帮助。
习题的4比较有意思。
5.4主理想整环上的有限生成扭模
主理想整环上有限生成扭模的基本性质,素因子分解下的有限生成扭模的直和分解,$p$分支,$p$模,零化子,
$\displaystyle M=\bigoplus_{i=1}^{r} M^{p^{i}}$
,转向对$p$模进行分解,商模为$p$模的子模的基,分解成循环$p$模的直和,基所对应的数组唯一,分解成循环子模的直和
$\displaystyle M=\bigoplus_{i=1}^{r} Dz_i$且$\mathrm{ann}z_1\supset\mathrm{ann}z_2\supset\cdots\supset\mathrm{ann}z_r$
由$M$唯一确定,记
$\mathrm{ann}z_i=\langle d_i\rangle$
称为$M$的不变因子
本节难度较大,定理、分解比较多且繁杂,不过我相信大家在学完柯斯特利金第二卷第二章的Jordan标准型之后,应该对这种搞法感觉难度不大。本节理解的关键应该是要理清主线,定理和推论太多了,而且层层递进的,一定要把握好主线与递进的结构。
习题的3,8比较有意思。
5.5主理想整环上有限生成模的应用
应用1:有限生成Abel群基本定理,Betti数,扭系数,应用2:线性变换的理论,相伴矩阵,不变因子,有理标准型,代数闭域,Jordan标准型,初等因子
感觉...把群论中的经典:有限生成Abel群基本定理放到此处有点奇怪,这样做确实是有点表示论的味道,但是总感觉把知识点割裂开来,相比之下我还是更喜欢柯斯特利金的做法,不要等到最后万事俱备了再去讲。有理标准型应该线性代数有很多班讲过,应该问题不大。下一节的内容是具体的求解,这一节更偏向于理论介绍。
习题的1,2,3,5比较有意思。部分习题感觉完全就是线性代数的内容。
5.6主理想整环上的矩阵
矩阵的等价,Smith标准型,不变因子,行列式因子,三个因子的关系,不变量
这一节就是具体的求解等内容了,相信大家在线性代数也都有所了解,支丽红班当时并没有给出具体详尽的证明,可以看此书补上。不过其实并没有多少新东西。
习题似乎没有什么太有意思的。
第六章 Galois理论
6.1Galois基本理论
Galois群,不变子域(固定子域),Galois群和不变子域的基本性质,域$K$上$G$是$\mathrm{Aut}K$的有限子群,则$K$是$\mathrm{Inv}G$上的有限扩张且$[K:\mathrm{Inv}G]\leq G$,Galois扩张及其等价条件,Galois基本定理
习题出现了和域
我们终于来到了最终的Galois理论部分。不过在此之前还是推荐回顾一下第三章的域论,里面的很多概念需要复习。这一节一上来就很抽象,从Galois群的定义开始就比较难懂,需要慢慢去看。不过这一节的定理还是相对比较易证的。此外,例题可以帮助理解,不过例题也有劝退属性,其难度较高。
习题的5,8,9比较有意思。另外,提前说明一下,建议本章的所有非证明题都过一遍,练习一下。以后说明的有意思的题特指证明题。
6.2一个方程的群
无重根首一多项式的基本性质,多项式的群,多项式的群与置换群同构的条件
这一节难度依然较大,不过感觉比上一节好一些了,具体的例子也更多了。主要定理的出现竟也感觉合情合理,证明起来也较好上手。
习题的4,5比较有意思。
6.3分圆域 二项方程
n次单位根,单位原根,Euler函数,n次分圆多项式,n次单位根域(n次分圆域),2的幂次的单位群的性质,二项方程的Galois群
习题出现了Möbius函数
前半部分稍有偏离主线——事实上在柯斯特利金中也并不是在伽罗瓦理论那一章讲的。后半部分在前面的过渡下难度也不是很大,整体来说难度不算很高。
习题的3,4,8,11比较有意思。补充题的莫比乌斯反演公式可以看看。
6.4有限域
有限域的存在唯一性,
$\mathrm{Gal}(F_{p^{n}}/ {\mathbb{Z}}{p})$
是n阶循环群,素数可以表示成两个整数的平方和的条件,有限体,Wedderburn定理:有限体是域
这一节,包括作者在这一节的开头都已经说明,是稍微偏离伽罗瓦理论的主线的,不过介绍有限域理论还是蛮重要的。本节的几乎所有内容在柯斯特利金的第三卷也都有讲过,不过不是在伽罗瓦理论这一章内。
习题的6比较有意思。
6.5方程的根式解
根式扩张,单根式扩张,可用根式解,可用根式解的性质,$f(x)的群$G(f(x),F)$为可解群则$f(x)=0$可用根式解,证明五次以上方程无法根式解,以及四次及以下方程可用根式解
相当重要、集大成的一节,难度说真的也不大(如果前面几节学懂了的话),后面的例子给出了一元三次方程的解法,从这个角度求解是异于柯斯特利金第一卷的部分的,可以看看。
习题的3比较有意思。
6.6圆规尺规作图
尺规作图可以做出:给定$1,\alpha,\beta$后可以做$\displaystyle\frac{\alpha}{\beta},\sqrt{\alpha}$,可做出的复数满足的条件:存在二次扩域序列使得$\gamma\in K_n$($\gamma\in\mathbb{C}$是所需判定能否做出的复数),证明尺规作图不能三等分角,Fermat素数,正17边形的做法
仍然算是科普性质的一节吧,不过写的还是很不错的,尤其是结尾的正17边形挺有趣。最开始的尺规作图在柯斯特利金上面(包括第一卷)都有所介绍,难度不大。
习题的4比较有意思。习题的5貌似初中数学讲过。补充题的2比较有意思。