2023.1.11
将上面这种现象与光的偏振进行对比,如图:
<center><font size=3>图1.2</font></center>
我们可以将图1.1(a)与图1.2(a),以及图1.1(c)与图1.2(b)进行对比,因此有一个对应关系:
$$
S_z \pm atoms \leftrightarrow x-,y-polarized\ light\
S_x \pm atoms \leftrightarrow x'-,y'-polarized\ light\ \tag{1.1.1}
$$
然后因为我们又有光的偏振的表达式:
$$
E_0 \hat{\textbf{x}}' \mathrm{cos}(kz-\omega t)=E_0 [\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\textbf{x}}cos(kz-\omega t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\textbf{y}}cos(kz-\omega t)]\
E_0 \hat{\textbf{y}}' \mathrm{cos}(kz-\omega t)=E_0 [-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\textbf{x}}cos(kz-\omega t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\textbf{y}}cos(kz-\omega t)]\ \tag{1.1.2}
$$
显然对偏振这种情况,我们构造了一个二维的向量空间,$\hat{\textbf{x}}$与$\hat{\textbf{y}}$是这个空间的基矢。而对于图1.1的情况,我们需要构造一个与一般的二维向量空间(xy)不同的抽象二维向量空间,我们用右矢(ket)$\ket{S_x;+}$来代表$S_x+$,并把我们的表达式写成一个线性组合的样子:
$$
\ket{S_x;+} \overset{?}{=} \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{S_z;+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{S_z;-}\
\ket{S_x;-} \overset{?}{=} -\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{S_z;+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{S_z;-}\\tag{1.1.3}
$$
但是当银原子沿x方向传播时,我们该如何表示$S_y\pm$呢?显然如上文的类比一样,我们可以再次用$\ket{S_z;\pm}$的线性组合来表示它,但我们似乎已经用尽了$\ket{S_z;\pm}$在实数域上的所有线性组合,那么我们将如何区别$S_y \pm$和$S_x \pm$呢?
书上表示可以用圆偏振光来类比,原因是圆偏振光通过检偏器之后的行为与线偏振光无异,但是在通过检偏器之前的行为则是完全不同的。(感觉有点牵强)
对圆偏振光:
$$
\textbf{E}=E_0 [\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\textbf{x}}cos(kz-\omega t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\textbf{y}}cos(kz-\omega t+\frac{\pi}{2})] \tag{1.1.4}
$$
用复数表达会更加优雅:
$$
\epsilon =[\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\textbf{x}}e^{i(kz-\omega t)}+\frac{i}{\sqrt{2}}\hat{\textbf{y}}e^{i(kz-\omega t)}]\
\mathrm{Re}(\epsilon)=\textbf{E}/E_0 \tag{1.1.5}
$$
有以下类比关系:
$$
S_y+ atom\leftrightarrow right\ circularly\ polarized\ beam\
S_y- atom\leftrightarrow left\ circularly\ polarized\ beam\\tag{1.1.6}
$$
thus we have:
$$
\ket{S_y;\pm}\overset{?}{=}\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{S_z;+}\pm \frac{i}{\sqrt{2}}\ket{S_z;-}\tag{1.1.7}
$$
所以我们可以看出我们所需要的二维向量空间是一个复向量空间,这个矢量空间的任意一个矢量可以写成基矢量$\ket{S_z;\pm}$的线性组合,其系数为复数。
1.2 Kets, Bras, and Operaters
在量子力学中,一个物理态用一个复矢量空间的态矢量表示,我们称这样的一个矢量为右矢,用$\ket{a}$表示。右矢对于数乘交换,两个右矢可以相加,$c\ket{a}$和$\ket a$表示的物理态相同($c \neq$0),换句话说矢量空间中只有方向是有意义的。将一个可观测量用算符表示,比如说A
$$
A ·(\ket{a})=A\ket{a} \tag{1.2.1}
$$
与一般的向量空间相同,各种算符也有它们自己的本征右矢。