3 代夸克的味混合矩阵是两个酉(幺正)矩阵的乘积(因此味混合矩阵本身也是酉矩阵):$$
V = U {U'}^{\dagger} =
\begin{pmatrix}
V_{\mathrm{ud}} & V_{\mathrm{us}} & V_{\mathrm{ub}} \\
V_{\mathrm{cd}} & V_{\mathrm{cs}} & V_{\mathrm{cb}} \\
V_{\mathrm{td}} & V_{\mathrm{ts}} & V_{\mathrm{tb}} \\
\end{pmatrix}
=:
\begin{pmatrix}
V_{11} & V_{12} & V_{13} \\
V_{21} & V_{22} & V_{23} \\
V_{31} & V_{32} & V_{33} \\
\end{pmatrix}.
$$
Jarlskog 不变量定义为 $$
\mathcal{J} = \operatorname{Im}\bigl( V_{11} V_{22} V_{12}^{*} V_{21}^{*} \bigr),
$$
其中上标 $*$ 是指取复共轭(共轭转置的上标是 $\dagger$)。
Jarlskog 不变量的唯一性是指,任取矩阵 $V$ 的 2 阶子式 $\left( \begin{smallmatrix} V_{ij} & V_{kl} \\ V_{kj}^{*} & V_{il}^{*} \end{smallmatrix} \right)$
,其构成的 Jarlskog 不变量之间至多相差一个符号。Jarlskog 不变量的唯一性更精确的结论为:$$
\mathcal{J} \sum_{k'} \epsilon_{i'j'k'} \sum_{k} \epsilon_{ijk} = \operatorname{Im}\bigl( V_{i'i} V_{i'j}^{*} V_{j'i}^{*} V_{j'j} \bigr).
$$
求教,如何证明这一结论?
另外,Cecilia Jarlskog 提出不变量的论文 PhysRevLett.55.1039 中并没有证明这一结论。
Matthew D. Schwartz 的量子场论书 Quantum Field Theory and the Standard Model 中在第 29 章 29.3 节 29.3.3 小节部分地证明了唯一性:矩阵 $V$ 的酉性意味着任意行向量或列向量按照 $\mathbb{C}^{3}$ 上的标准内积正交。例如取第 $1$ 列和第 $2$ 列,则 $$
V_{11} V_{12}^{*} + V_{21} V_{22}^{*} + V_{31} V_{32}^{*} = 0.
$$
上式在复平面上构成三角形 $\triangle$。Jarlskog 不变量定义为三角形 $\triangle$ 的面积 $S_{\triangle}$ 的 2 倍。上边等号两边同时除以 $V_{11} V_{12}^{*}$
,则 $$
1 + \frac{V_{21} V_{22}^{*}}{V_{11} V_{12}^{*}} + \frac{V_{31} V_{32}^{*}}{V_{11} V_{12}^{*}} = 0.
$$
上式在复平面上构成三角形 $\blacktriangle$。三角形 $\triangle$ 的面积是三角形 $\blacktriangle$ 的面积的 $\bigl\vert V_{11} V_{12}^{*} \bigr\vert^{2} = V_{11} V_{12}^{*} V_{11}^{*} V_{12}$
倍。
三角形 $\blacktriangle$ 有一条单位长度的边落在实轴上,它的面积容易表达为 $$
S_{\blacktriangle} = \frac{1}{2} \left\vert \operatorname{Im}\left( \frac{V_{21} V_{22}^{*}}{V_{11} V_{12}^{*}} \right) \right\vert = \frac{1}{2} \left\vert -\operatorname{Im}\left( \dfrac{V_{31} V_{32}^{*}}{V_{11} V_{12}^{*}} \right) \right\vert,
$$
于是 $$
S_{\triangle} = V_{11} V_{12}^{*} V_{11}^{*} V_{12} S_{\blacktriangle} = \dfrac{1}{2} V_{11} V_{12}^{*} V_{11}^{*} V_{12} \left\vert \operatorname{Im}\left( \dfrac{V_{21} V_{22}^{*}}{V_{11} V_{12}^{*}} \right) \right\vert = \frac{1}{2} \bigl\vert \operatorname{Im}\bigl( V_{11} V_{22} V_{12}^{*} V_{21}^{*} \bigr) \bigr\vert.
$$
对同样的三角形 $\triangle$,其面积有 3 种独立的表述,因此可以证明唯一性结论的一部分:$$
\operatorname{Im}\bigl( V_{11} V_{22} V_{12}^{*} V_{21}^{*} \bigr) = -\operatorname{Im}\bigl( V_{11} V_{32} V_{12}^{*} V_{31}^{*} \bigr) = \operatorname{Im}\bigl( V_{21} V_{32} V_{22}^{*} V_{31}^{*} \bigr).
\tag{u--1}
$$