驳所谓《热力学教课书中一个现象级的错误》
10月12日,BS2. 马给我发了一篇公众号推文,题目是本文题目书名号中的题目。我读了一遍之后便隐约觉得不对,便趁每周四上午没课的日子开始思忖。第一遍思考的时候我陷入了一种并非直击要害的辩护,直到我阅读第二遍时注意到了原作者的一个巨大破绽,最终用一句话破除了该推文的迷惑性。
话不多说,考虑到原作者随时可能意识到自己的错误后删除推文,我在意识到他是错的之后把他的推文存了个档,在这里发上来作为永久的见证:
https://kernel-cdn.niconi.org/2023-10-13/1697158486-22082-589203f1-3aac-4820-8d4f-5b420d99de9f.pdf
推文中的1,2,3式是作者欲指出该“错误”,先引用了该“错误”导出了一条广义麦克斯韦关系:
$U,T,S,p,V$均为热力学问题中的标准记号,分别代指内能,温度,熵,压强和体积,$(1)$式右边前两项即无磁性条件下的热力学基本微分关系。现在引入磁相互作用能,其中$\mu_0$为真空磁导率,$H$为磁场强度,$m$为磁体之磁矩:\begin{equation}\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V+\mu_0H\mathrm{d}m\tag{1}\end{equation}
对$(1)$做勒让德变换,得到磁体系的广义吉布斯函数:\begin{equation}\mathrm{d}G=-S\mathrm{d}T+V\mathrm{d}p-\mu_0m\mathrm{d}H\tag{2}\end{equation}
由于全导数的偏导可交换定理,立刻得出广义麦克斯韦关系:\begin{equation}\left(\frac{\partial V}{\partial H}\right)_{S,p}=-\mu_0\left(\frac{\partial m}{\partial p}\right)_{S,H}\tag{3}\end{equation}
该式将绝热情形下的磁致伸缩(Magnetostriction)效应与压磁效应(Piezomagnetic)联系起来。
此时,作者话锋一转,称以上推导存在纰漏。他根据所谓“第一性原理”,将电动力学中的能量密度积分起来,称磁功微元的正确表达式为$V\mu_0H\mathrm{d}M$:
根据电动力学,磁介质具备的磁能密度的微元写为\begin{equation}\mathrm{d}w_\mathrm{M}=\mu_0H\mathrm{d}M\tag{4}\end{equation}
对整个介质,磁功的微元为\begin{equation}\mathrm{d}W_\mathrm{M}=\int\mu_0H\mathrm{d}M\mathrm{d}V\tag{5}\end{equation}
认为介质是均匀磁化的,此时\begin{equation}\mathrm{d}W_\mathrm{M}=V\mu_0H\mathrm{d}M\tag{6}\end{equation}
只有在$V$是常数的情形下,$V$才可以被吸收入微元,写成体系总磁矩的形式:\begin{equation}\mathrm{d}W_\mathrm{M}=\mu_0H\mathrm{d}(VM)=\mu_0H\mathrm{d}m\tag{7}\end{equation}
但在磁致伸缩过程中,体积不是常数,事实上:\begin{equation}\mathrm{d}m=\mathrm{d}(VM)=V\mathrm{d}M+M\mathrm{d}V\tag{8}\end{equation}
因此根据上文的讨论,被引入热力学基本微分关系的正确磁功形式应当为\begin{equation}\begin{aligned}\mathrm{d}U&=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V+V\mu_0H\mathrm{d}M\\ &=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V+\mu_0H\mathrm{d}m-\mu_0HM\mathrm{d}V\end{aligned}\tag{9}\end{equation}
好的,对于原文公式的引用到此为止,相信不少同学已经看出原作者的狐狸尾巴了。在看懂原作者纰漏后的第一时间,我是这样批驳他的:“他既然知道磁致伸缩过程中体积会改变,怎么在把磁能密度积分起来的时候忘了这点呢?”
既然他在原文中称“当遇到磁功的时候,从第一性原理出发,结合(原文为“果”,应当系笔误)小心翼翼地处理。”那我就用第一性原理和他奉陪到底:
当然,$(4)$式的正确性是毋庸置疑的。既然如此,我们把积分后的磁能密度写出来:\begin{equation}w_{\mathrm{M}}=\int_0^{M_0}\mu_0H\mathrm{d}M\tag{I}\end{equation}
将磁能密度在介质范围内做积分,介质的磁能就出来了:\begin{equation}W_{\mathrm{M}}=\int_\mathrm{medium}\mathrm{d}V\int_0^{M_0}\mu_0H\mathrm{d}M\tag{II}\end{equation}
仍然视介质均匀磁化,此时:\begin{equation}W_{\mathrm{M}}=V\int_0^{M_0}\mu_0H\mathrm{d}M=\int_0^{VM_0}\mu_0H\mathrm{d}(VM)=\int_0^{VM_0}\mu_0H\mathrm{d}m\tag{III}\end{equation}
这正是老教材,也就是原作者所批评的结果。
将体系的磁能写成微元的形式:\begin{equation}\mathrm{d}W_{\mathrm{M}}=\mu_0H\mathrm{d}m=\mu_0HM\mathrm{d}V+V\mu_0H\mathrm{d}M\tag{IV}\end{equation}
此时的热力学基本方程可以写为两种形式\begin{equation}\begin{aligned}\mathrm{d}U&=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V+\mu_0H\mathrm{d}m\\&=T\mathrm{d}S+(\mu_0HM-p)\mathrm{d}V+V\mu_0H\mathrm{d}M\end{aligned}\tag{V}\end{equation}
从两种形式中我们可以写出不同的偏导数\[\begin{aligned}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,m}&=-p,\\ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,M}&=-p+\mu_0HM.\end{aligned}\]
下面解释两种偏导数的物理意义。由$(\mathrm{III})$式,$m$不变时,保证体系磁能不会发生改变,因此可以直接忽略磁能项,对最基本的热力学微分关系式求算绝热时内能对体积的响应,结果为$-p$。而当$M$不变时,体系体积增加不仅会导致其克服外压$p$做功,体积的变化也会导致其对磁能产生一个贡献$\mu_0HM\mathrm{d}V$,其中$\mu_0HM$即原体系的磁能密度,在约束$M$不变时是定值。
反观原作者给出的“热力学微分关系”:\[\left(\frac{\partial U'}{\partial V}\right)_{S,M}=-p.\]
根据上文的讨论,这个偏导数中不存在来自磁能密度的贡献,因此是错的。
还有一件事可以至少佐证原作者提出的式子存在问题:众所周知,热力学基本关系式可以写为一个广义力和广义位移的微元相乘的形式:\[\mathrm{d}U=\sum_{i=1}^{W}F_i\mathrm{d}X_i\]
有一个显然的结果:内能是全体广义位移的1次齐函数,这里齐函数的因子显然是粒子数(或者物质的量),因此广义力是强度量(Intensity),广义位移是广度量(Extensity)。但考察$V\mu_0H\mathrm{d}M$后发现,广义位移$M$是个强度量,广义力$V\mu_0H$成为广度量,这显然是有问题的。
写到这里,这篇文章的技术纰漏已经批驳完毕。但我还要再对该文章的行文攻击一番:首先,从前文我直接引用的一句话中存在笔误,就可以注意到,至少在发表之前,该推文没有经过作者的自查或同行的检视。除此之外,还有不少令人哭笑不得的纰漏:
“什么是‘不过不是’?”
“还tm 5呢?我4呢?”“哒哒哒滴哒哒!”
其次,作为一篇勘误的文章,其行文应当是对错分明,讨论详尽的。但作者先称“当然,在热力学中,磁功的表达式不是一个容易处理的问题。”接着提及了一篇邢定钰先生的文章,称“邢先生唯一一篇教学研究论文,就是讨论磁功的表达式问题”,然而对这位学者文章的提及既不能驳倒原教材,也不能给原作者的文章提供证据。事实上,这甚至仅仅是提及邢先生有这样一篇文章罢了。根据原作者的描述,邢定钰的这篇文章也容易获取,我扒下来一并放在这里。读者可自己发现,提及邢先生的文章,完全是原作者在附会罢了。在该段最后,作者提及了那句所谓的“小心翼翼地处理”,而事实证明,作者自己的处理也并不小心,丢失了由于体积变化导致磁能变化的项,属实贻笑大方了。
https://kernel-cdn.niconi.org/2023-10-13/1697168343-334149-1ae24214-4881-4974-b7db-01330c3dabd3.pdf
最后,作者撰写的这篇文章不具备基本的逻辑,且存在大量似是而非的伪证。作者称“指出这个错误,也不能使数以十万计的学生和老师立即认识到这一点”纯属无稽之谈:即使是原作者自己引用自己的一篇文章,也指出由原书公式得到的广义麦克斯韦关系得到了实验的验证。这些学生和老师确实不会认识到一个从理论和实验上都压根不存在的错误:
最为可笑的一处论证在此:“现在已经知道这个错误,回过头去想,可以从多种角度发现这个错误!例如,欧美教材没有这个结果。”这句话在欧美没有该结果处戛然而止,便接续了下一条,这显然不是所谓“多种角度”;况且,欧美教材没有这个结果显然不意味着该结果是错的:没有一部教科书能够遍历其描述领域内的全部问题,况且在下该结论时,作者的调研并不充分:欧美热统教材浩如烟海,你读过了哪怕10%吗?此外,这里的话暗含以欧美教材为纲,一切向欧美观点看齐的观点,值得批评。
综上所述,这是一篇基于错误的观点推出错误的结论,以大量错漏百出、软弱无力的非推导讨论粉饰的一篇似是而非的“学术讨论”。这篇文章的出现足以说明包括原作者、潜在的审核者以及部分信以为真的读者在内某些人思考问题的过程缺乏充分讨论和反复检验。不过这篇文章还是有其少有正面意义的:其数学推导部分可以作为《热力学和统计物理》课程教学过程中供学生讨论批评的反面教案,而其非推导的讨论部分也可作为学术写作教程中典型的反面案例。