作者 Walter Greiner 和 Joachim Reinhardt。
原书在 Springer 官网。
太喜欢这本书了，但是翻译英文实在是力不从心，还是只摘录一些公式吧。

2. 经典场论

2.1 导论

理论力学里质点系被一组离散的坐标 $\lbrace q_{i}(t) \rbrace$ 刻画，而场 $\phi$ 则被其所在区域内每一点处的取值 $\phi(\boldsymbol{x}, t)$ 确定。此时的动力学变量是场在每一点处的取值，构成无穷大自由度的系统。

Lagrange 函数，即拉氏量，是场的泛函。泛函是函数空间到实数的映射。习惯上用中括号标记泛函的宗量，式 (2.1)：
$$
\displaystyle L[\phi, \dot{\phi}].
$$
泛函 $L$ 同时依赖函数 $\phi$ 和 $\dot{\phi}$，但是与坐标 $\boldsymbol{x}$ 无关。

定义泛函 $F[\phi]$ 的变分 $\Lambda F$ 为式 (2.2)：
$$
\begin{aligned}
\Lambda F &= F[\phi + \Lambda \phi] - F[\phi] \\
&\equiv \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \frac{\Lambda F}{\Lambda \phi} \, \Lambda \phi,
\end{aligned}
$$
其中 $\dfrac{\Lambda F}{\Lambda \phi}$ 是泛函 $F$ 关于函数 $\phi$ 在时空点 $(\boldsymbol{x}, t)$ 处的泛函导数，详见 2.3 节。

对式 (2.1) 的拉氏量应用式 (2.2)，式 (2.3)：
$$
\displaystyle \Lambda L = \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \biggl( \frac{\Lambda L}{\Lambda \phi} \, \Lambda \phi + \frac{\Lambda L}{\Lambda \dot{\phi}} \, \Lambda \dot{\phi} \biggr).
$$
上式省略标记了场对时空的依赖。拉式量的时间积分得到的作用量 $W[\phi, \dot{\phi}]$ 也是函数 $\phi$ 和 $\dot{\phi}$ 的泛函。当在时间区间 $[t_{1}, t_{2}]$ 上积分时，作用量的变分为式 (2.4)：
$$
\begin{aligned}
\Lambda W &= \Lambda \int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{d} t \, L \\
&= \int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{d} t \, \Lambda L \\
&= \int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{d} t \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \biggl( \frac{\Lambda L}{\Lambda \phi} \, \Lambda \phi + \frac{\Lambda L}{\Lambda \dot{\phi}} \, \Lambda \dot{\phi} \biggr) \\
&= \int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{d} t \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \biggl( \frac{\Lambda L}{\Lambda \phi} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\Lambda L}{\Lambda \dot{\phi}} \biggr) \, \Lambda \phi.
\end{aligned}
$$
最后一个等号处用到了分部积分法、边界条件 $\Lambda \phi \bigr\vert_{t = t_{1}, t_{2}} = 0$ 和等时变分条件 $\Lambda \dot{\phi} = \dfrac{\partial}{\partial t} (\Lambda \phi)$。由最小作用量原理，式 (2.5)：
$$
\displaystyle \Lambda W = 0,
$$
有式 (2.6)：
$$
\displaystyle \frac{\Lambda L}{\Lambda \phi} - \frac{\partial }{\partial t} \frac{\Lambda L}{\Lambda \dot{\phi}} = 0,
$$
即推广到场论的 Euler–Lagrange 方程。

设空间被划分为体积 $\Delta V_{i}$ 的单元，在每个单元上函数 $\phi$ 的平均值为式 (2.7)：
$$
\displaystyle \phi_{i}(t) \equiv \frac{1}{\Delta V_{i}} \int_{\Delta V_{i}} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \phi.
$$
$L$ 近似依赖离散的坐标 $\lbrace \phi_{i}, \dot{\phi}_{i} \rbrace$，其变分写作式 (2.8)：
$$
\begin{aligned}
\Lambda L &= \sum_{i} \biggl( \frac{\Lambda L}{\Lambda \phi_{i}} \, \Lambda \phi_{i} + \frac{\Lambda L}{\Lambda \dot{\phi}_{i}} \, \Lambda \dot{\phi}_{i} \biggr) \\
&= \sum_{i} \biggl( \frac{1}{\Delta V_{i}} \frac{\Lambda L}{\Lambda \phi_{i}} \, \Lambda \phi_{i} + \frac{1}{\Delta V_{i}} \frac{\Lambda L}{\Lambda \dot{\phi}_{i}} \, \Lambda \dot{\phi}_{i} \biggr) \, \Delta V_{i}.
\end{aligned}
$$
由于空间不同点上的变分彼此独立，对照式 (2.3) 有式 (2.9)：
$$
\begin{aligned}
& \frac{\Lambda L}{\Lambda \phi} = \lim_{\Delta V_{i} \to 0} \frac{1}{\Delta V_{i}} \frac{\Lambda L}{\Lambda \phi_{i}}, \\
& \frac{\Lambda L}{\Lambda \dot{\phi}} = \lim_{\Delta V_{i} \to 0} \frac{1}{\Delta V_{i}} \frac{\Lambda L}{\Lambda \dot{\phi}_{i}}.
\end{aligned}
$$
泛函导数本质上是泛函关于场在一点处取值的微分。设拉氏量描述定域场论，即拉氏量 $L$ 可写作拉氏量密度 $\mathcal{L}$ 的体积分，式 (2.10)：
$$
\displaystyle L = \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \mathcal{L}(\phi, \nabla \phi, \dot{\phi}).
$$
这里假设 $\mathcal{L}$ 是场函数 $\phi$ 及其时间导数 $\dot{\phi}$ 和梯度 $\nabla \phi$ 的函数。仅依赖场的一阶导数的定域拉氏量密度足够构成现行场论的基础。

构造拉氏量密度时需施加理论满足的对称性和不变性。相对论场论的最基本要求是构造的拉氏量密度是 Lorentz 标量。

$L$ 的变分由 $\mathcal{L}$ 表达为式 (2.11)：
$$
\begin{aligned}
\Lambda L &= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \, \Lambda \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\nabla \phi)} \, \Lambda (\nabla \phi) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} \, \Lambda \dot{\phi} \biggr) \\
&= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \biggl( \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \nabla \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\nabla \phi)} \biggr) \, \Lambda \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} \, \Lambda \dot{\phi} \biggr).
\end{aligned}
$$
上式用到了推广的等时变分条件 $\Lambda (\nabla \phi) = \nabla (\Lambda \phi)$ 和分部积分，并假设场及其导数在无穷远处足够快地趋于零。对比式 (2.3) 得到泛函导数的显式 (2.12)：
$$
\begin{aligned}
& \frac{\Lambda L}{\Lambda \phi} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \nabla \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\nabla \phi)}, \\
& \frac{\Lambda L}{\Lambda \dot{\phi}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}.
\end{aligned}
$$
Euler–Lagrange 方程 (2.6) 用拉氏量密度写作式 (2.13)：
$$
\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \nabla \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\nabla \phi)} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} = 0,
$$
或采用相对论协变记号 $x^{\mu} = (x^{0}, \boldsymbol{x}) = (\mathrm{c} t, \boldsymbol{x})$ 写作式 (2.14)：
$$
\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu} \phi)} = 0.
$$
若拉氏量依赖若干彼此独立的场 $\phi_{r}$，其中 $r = 1, \dotsc, N$，则式 (2.14) 推广为式 (2.15)：
$$
\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{r}} - \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu} \phi_{r})} = 0.
$$

场方程也可以不引入泛函导数，而是直接由作用量的变分导出，而不引入泛函导数。推导过程中会用到四重分部积分。

2.4 经典场论中的守恒定律

Noether 定理

设系统的坐标从 $x$ 无穷小变换到 $x'$，即式 (2.38)：
$$
\displaystyle \Lambda x_{\mu} \equiv x_{\mu}' - x_{\mu}.
$$
同一点处场 $\phi_{r}$ 的“形状”的变分为式 (2.39)：
$$
\displaystyle \Lambda \phi_{r}(x) \equiv \phi_{r}'(x') - \phi_{r}(x),
$$
相应的拉氏量密度变化为式 (2.40)：
$$
\displaystyle \Lambda \mathcal{L}(x) = \underbrace{\mathcal{L}\biggl( \phi'(x'), \dfrac{\partial \phi'(x')}{\partial x_{\mu}'} \biggr)}_{\mathcal{L}'(x')} - \underbrace{\mathcal{L}\biggl( \phi(x), \dfrac{\partial \phi(x)}{\partial x_{\mu}} \biggr)}_{\mathcal{L}(x)}.
$$
定义修正变分 (2.41)：
$$
\displaystyle \tilde{\Lambda} \phi_{r}(x) \equiv \phi_{r}'(x) - \phi_{r}(x),
$$
两类场的变分之间有关系 (2.42)：
$$
\begin{aligned}
\tilde{\Lambda} \phi_{r} &= \phi_{r}'(x) - \phi_{r}'(x') + \phi_{r}'(x') - \phi_{r}(x) \\
&= \Lambda \phi_{r} - \Bigl( \phi_{r}'(x') - \phi_{r}'(x) \Bigr) \\
&= \Lambda \phi_{r} - \frac{\partial\phi_{r}'}{\partial x_{\mu}} \, \Lambda x_{\mu} \\
&= \Lambda \phi_{r} - \frac{\partial {\phi_{r}}}{\partial x_{\mu}} \, \Lambda x_{\mu}.
\end{aligned}
$$
后两个等号处的展开都忽略了高阶变分。

由定义 (2.41)，修正变分 $\tilde{\Lambda}$ 与偏导数 $\dfrac{\partial}{\partial x_{\mu}}$ 交换，式 (2.43)：
$$
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \bigl( \tilde{\Lambda} \phi_{r} \bigr) = \tilde{\Lambda} \biggl( \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x_{\mu}} \biggr),
$$
而 $\Lambda$ 变分则不具备上述交换性，式 (2.44)：
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x_{\mu}} (\Lambda \phi_{r}) &= \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \phi_{r}'(x') - \frac{\partial\phi_{r}}{\partial x_{\mu}} \\
&= \biggl( \frac{\partial }{\partial x_{\mu}'} \phi_{r}'(x') - \frac{\partial\phi_{r}}{\partial x_{\mu}} \biggr) + \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \phi_{r}'(x') - \frac{\partial}{\partial x_{\mu}'} \phi_{r}'(x') \\
&= \Lambda \biggl( \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x_{\mu}} \biggr) + \frac{\partial x_{\nu}'}{\partial x_{\mu}} \frac{\partial}{\partial x_{\nu}'} \phi_{r}'(x') - \frac{\partial}{\partial x_{\mu}'} \phi_{r}'(x') \\
&= \Lambda \biggl( \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x_{\mu}} \biggr) + \biggl( \Lambda_{\nu}^{\mu} - \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} (\Lambda x_{\nu}) \biggr) \frac{\partial}{\partial x_{\nu}'} \phi_{r}'(x') - \frac{\partial}{\partial x_{\mu}'} \phi_{r}'(x') \\
&= \Lambda \biggl( \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x_{\mu}} \biggr) + \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} (\Lambda x_{\nu}) \, \frac{\partial}{\partial x_{\nu}'} \phi_{r}'(x') \\
&= \Lambda \biggl( \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x_{\mu}} \biggr) + \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x_{\nu}} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} (\Lambda x_{\nu}).
\end{aligned}
$$
最后一个等号也忽略了高阶变分。

设变分 (2.38) 和 (2.39) 使得作用量保持不变，即式 (2.45)：
$$
\displaystyle 0 = \Lambda W = \int_{\varOmega'} \mathrm{d}^{4} x' \, \mathcal{L}'(x') - \int_{\varOmega} \mathrm{d}^{4} x \, \mathcal{L}(x),
$$
其中 $\varOmega'$ 与 $\varOmega$ 是同一积分区域的不同坐标描述。代入式 (2.40) 得到式 (2.46)：
$$
\displaystyle \Lambda W = \int_{\varOmega} \mathrm{d}^{4} x \, \Lambda\mathcal{L} + \int_{\varOmega'} \mathrm{d}^{4} x' \, \mathcal{L}(x) - \int_{\varOmega} \mathrm{d}^{4} x \, \mathcal{L}.
$$
上式重积分变量替换的 Jacobi 行列式为式 (2.47)：
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}^{4} x' &= \biggl\vert \frac{\partial x_{\mu}'}{\partial x_{\nu}} \biggr\vert \, \mathrm{d}^{4} x \\
&= \biggl\vert \Lambda_{\mu}^{\nu} + \frac{\partial}{\partial x_{\nu}} (\Lambda x_{\mu}) \biggr\vert \, \mathrm{d}^{4} x \\
&= \begin{vmatrix}
1 + \dfrac{\partial}{\partial x_{0}} (\Lambda x_{0}) & \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} (\Lambda x_{0}) & \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} (\Lambda x_{0}) & \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} (\Lambda x_{0}) \\[2 ex]
\dfrac{\partial}{\partial x_{0}} (\Lambda x_{1}) & 1 + \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} (\Lambda x_{1}) & \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} (\Lambda x_{1}) & \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} (\Lambda x_{1}) \\[2 ex]
\dfrac{\partial}{\partial x_{0}} (\Lambda x_{2}) & \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} (\Lambda x_{2}) & 1 + \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} (\Lambda x_{2}) & \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} (\Lambda x_{2}) \\[2 ex]
\dfrac{\partial}{\partial x_{0}} (\Lambda x_{3}) & \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} (\Lambda x_{3}) & \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} (\Lambda x_{3}) & 1 + \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} (\Lambda x_{3})
\end{vmatrix} \mathrm{d}^{4} x \\
&= \biggl( 1 + \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} (\Lambda x_{\mu}) \biggr) \, \mathrm{d}^{4} x.
\end{aligned}
$$
上式的最后行列式完全展开，高阶变分全部舍去。式 (2.46) 改写为式 (2.48)：
$$
\begin{aligned}
\Lambda W &= \int_{\varOmega} \mathrm{d}^{4} x \, \Lambda\mathcal{L} + \int_{\varOmega} \mathrm{d}^{4} x \, \mathcal{L} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} (\Lambda x_{\mu}) \\
&= \int_{\varOmega} \mathrm{d}^{4} x \, \biggl( \Lambda\mathcal{L} + \mathcal{L} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} (\Lambda x_{\mu}) \biggr) \\
&= \int_{\varOmega} \mathrm{d}^{4} x \, \biggl( \tilde{\Lambda}\mathcal{L} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{\mu}} \, \Lambda x_{\mu} + \mathcal{L} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} (\Lambda x_{\mu}) \biggr) \\
&= \int_{\varOmega} \mathrm{d}^{4} x \, \biggl( \tilde{\Lambda} \mathcal{L} + \frac{\partial }{\partial x_{\mu}} \bigl( \mathcal{L} \, \Lambda x_{\mu} \bigr) \biggr).
\end{aligned}
$$
将修正变分 $\tilde{\Lambda} \mathcal{L}$ 展开为式 (2.49)：
$$
\begin{aligned}
\tilde{\Lambda} \mathcal{L} &= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{r}} \, \tilde{\Lambda} \phi_{r} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \, \tilde{\Lambda} \biggl( \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x_{\mu}} \biggr) \\
&= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{r}} \, \tilde{\Lambda} \phi_{r} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} (\tilde{\Lambda} \phi_{r}) \\
&= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{r}} \, \tilde{\Lambda} \phi_{r} + \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \, \tilde{\Lambda} \phi_{r} \biggr) - \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \biggr) \, \tilde{\Lambda} \phi_{r} \\
&= \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{r}} - \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \biggr) \biggr) \, \tilde{\Lambda} \phi_{r} + \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \, \tilde{\Lambda} \phi_{r} \biggr).
\end{aligned}
$$
上式中重复出现的 $r$ 也要对 $r = 1, \dotsc, N$ 求和。

由于积分区域 $\varOmega$ 的任意性，式 (2.48) 的被积函数必然为零，即式 (2.50)：
$$
\displaystyle 0 = \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{r}} - \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \biggr) \biggr) \, \tilde{\Lambda} \phi_{r} + \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \, \tilde{\Lambda} \phi_{r} + \mathcal{L} \, \Lambda x_{\mu} \biggr).
$$
上式第一项由 Euler–Lagrange 方程 (2.14) 为零，第二项是 4–散度项，利用式 (2.42) 写作式 (2.51)：
$$
\displaystyle 0 = \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \biggl( \Lambda \phi_{r} - \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x_{\nu}} \, \Lambda x_{\nu} \biggr) + \mathcal{L} \, \Lambda x_{\mu} \biggr).
$$
上式称为向量场的连续性方程，即形如式 (2.52)：
$$
\displaystyle \frac{\partial f_{\mu}}{\partial x_{\mu}} = 0,
$$
其中的“流”密度为式 (2.53)：
$$
\displaystyle f_{\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \, \Lambda \phi_{r} - \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\nu}} - g_{\mu, \nu} \mathcal{L} \biggr) \, \Lambda x^{\nu}.
$$
连续性方程就是守恒定律的微分方程表述。定义守恒量为式 (2.55)：
$$
\displaystyle G \equiv \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, f_{0},
$$
那么由 Gauss 定理，有式 (2.54)：
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, f_{0} \\
&= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \frac{\partial f_{0}}{\partial t} \\
&= -\mathrm{c} \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \frac{\partial f_{i}}{\partial x^{i}} \\
&= -\mathrm{c} \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \nabla \cdot \boldsymbol{f} \\
&= -\mathrm{c} \int_{\partial V} \mathrm{d} \boldsymbol{o} \cdot \boldsymbol{f} \\
&= 0.
\end{aligned}
$$
最后一个等号假设 $f$ 在表面 $\partial V$ 趋于无穷远时足够快地趋于零。
Noether 定理的基本结论为：

每种连续变换对称性都可导出一条守恒定律。守恒量 $G$ 由拉氏量密度确定。

(1) 平移不变性

时空的均匀性产生系统的平移不变性，相应的坐标变化为式 (2.56)
$$
\displaystyle x_{\mu}' = x_{\mu} + \varepsilon_{\mu}.
$$
设场的形状平移不变，式 (2.57)：
$$
\displaystyle \Lambda \phi_{r} = \phi_{r}'(x') - \phi_{r}(x) = 0.
$$
式 (2.52) 约掉常数因子 $\varepsilon_{\nu}$ 后变为式 (2.58)：
$$
\displaystyle \frac{\partial \varTheta_{\mu, \nu}}{\partial x_{\mu}} = 0,
$$
其中 $\varTheta_{\mu, \nu}$ 是 正则能量—动量张量，式 (2.59)：
$$
\displaystyle \varTheta_{\mu, \nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\nu}} - g_{\mu, \nu} \mathcal{L}.
$$
因为 $\nu = 0, 1, 2, 3$，所以存在 4 个守恒量，分别是场的能量 $E$ 和动量 $\boldsymbol{P}$ 的分量。写成 4 维形式，式 (2.60)：
$$
\displaystyle P^{\nu} = \biggl( \frac{E}{\mathrm{c}}, \boldsymbol{P} \biggr) = \frac{1}{\mathrm{c}} \int_{V} \varTheta^{0, \nu} \, \mathrm{d}^{3} x.
$$
张量 $\varTheta_{\mu, \nu}$ 并不一定对称，不过总是可以修正为对称张量，参见例 2.1。

(2) Lorentz 不变性

4 维时空的各向同性产生系统的 Lorentz 不变性。（固有）Lorentz 变换包括 3 维空间中的转动和时间空间混合的转动 (boost)。无穷小的 Lorentz 变换为式 (2.61)：
$$
\displaystyle x_{\mu}' = x_{\mu} + x^{\nu} \, \Lambda \omega_{\mu, \nu},
$$
其中张量 $\Lambda \omega_{\mu, \nu}$ 是反对称的，式 (2.62)：
$$
\displaystyle \Lambda \omega_{\nu, \mu} = -\Lambda \omega_{\mu, \nu},
$$
这使得闵氏度规下 $x^{\mu}$ 的长度是 Lorentz 不变的。保留至一阶变分，有式 (2.63)：
$$
\begin{aligned}
x_{\mu}' x^{(\prime) \mu} &= (x_{\mu} + x_{\tau} \, \Lambda {\omega_{\mu}}^{\tau}) (x^{\mu} + x_{\sigma} \, \Lambda \omega^{\mu, \sigma}) \\
&= x_{\mu} x^{\mu} + x_{\tau} x^{\mu} \, \Lambda {\omega_{\mu}}^{\tau} + x_{\mu} x_{\sigma} \, \Lambda \omega^{\mu, \sigma} \\
&= x_{\mu} x^{\mu} + 2 x^{\mu} x^{\nu} \, \Lambda \omega_{\mu, \nu} \\
&= x_{\mu} x^{\mu} + x^{\mu} x^{\nu} (\Lambda \omega_{\mu, \nu} + \Lambda \omega_{\nu, \mu}) \\
&= 0.
\end{aligned}
$$

$\Lambda \phi_{r}$ 线性地依赖 $\phi_{r}$，式 (2.64)：
$$
\displaystyle \Lambda \phi_{r} = \frac{1}{2} (I^{\mu, \nu})_{r, s} \phi_{s} \, \Lambda \omega_{\mu, \nu},
$$
其中 $I^{\mu\nu}$ 是 Lorentz 变换的生成元、$(I^{\mu, \nu})_{r, s}$ 是生成元的矩阵表示的矩阵元。由 $\Lambda \omega_{\mu, \nu}$ 的反对称性，总可以选取反对称的 $I^{\mu, \nu}$，详见 RQM。

由式 (2.53)，守恒流写作式 (2.66)：
$$
\displaystyle f_{\mu} = \frac{1}{2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \bigl( I^{\nu, \lambda} \bigr)_{r, s} \phi_{s} \, \Lambda \omega_{\nu, \lambda} - \varTheta_{\mu, \nu} x_{\lambda} \, \Lambda\omega^{\nu, \lambda},
$$
其中 $\varTheta_{\mu, \nu}$ 为正则能动张量。由 $\Lambda \omega_{\nu, \lambda}$ 的反对称性，上式最后一项改写为式 (2.67)：
$$
\displaystyle \varTheta_{\mu, \nu} x_{\lambda} \, \Lambda \omega^{\nu, \lambda} = \frac{1}{2} \Bigl( \varTheta_{\mu, \nu} x_{\lambda} - \varTheta_{\mu, \lambda} x_{\nu} \Bigr) \, \Lambda \omega^{\nu, \lambda}.
$$
式 (2.66) 写作式 (2.68)：
$$
\displaystyle f_{\mu} = \frac{1}{2} M_{\mu, \nu, \lambda} \, \Lambda \omega^{\nu, \lambda},
$$
其中，式 (2.69)：
$$
\displaystyle M_{\mu, \nu, \lambda}(x) = \varTheta_{\mu, \lambda} x_{\nu} - \varTheta_{\mu, \nu} x_{\lambda} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} \phi_{s}.
$$
由 Noether 定理，反对称张量 (2.70)
$$
\displaystyle M_{\nu, \lambda} = \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \biggl( \varTheta_{0, \lambda} x_{\nu} - \varTheta_{0, \nu} x_{\lambda} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{0} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} \, \phi_{s} \biggr)
$$
是守恒量，称为角动量张量。限制指标取值 $\nu, \lambda = 1, 2, 3$，式 (2.70) 分为两部分，式 (2.71)：
$$
\displaystyle M_{n, l} = L_{n, l} + S_{n, l},
$$
其中，式 (2.72)：
$$
\begin{aligned}
L_{n, l} &= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, (x_{n} \varTheta_{0, l} - x_{l} \varTheta_{0, n}) \\
&= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{0} \phi_{r})} \biggl( x_{n} \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{l}} - x_{l} \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{n}} \biggr),
\end{aligned}
$$
以及式 (2.73)：
$$
\displaystyle S_{n, l} = \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{0} \phi_{r})} (I_{n, l})_{r, s} \phi_{s}.
$$
$L_{n, l}$ 包含位置矢量和动量（密度）矢量的叉乘，是垂直于 $x_{n}$ 和 $x_{l}$ 张成的平面的轨道角动量。$S_{n, l}$ 包含矩阵元 $(I_{n, l})_{r, s}$，依赖场 $\phi_{r}$ 的固有变换性质，因此描述自旋角动量。

$M_{n, l}$ 的 3 个独立分量可映射到角动量 $\boldsymbol{J}$ 的 3 个分量，式 (2.74)：
$$
\displaystyle M_{n, l} = \epsilon_{n, l, k} J_{k},
$$
两边乘以 $\dfrac{1}{2} \epsilon_{m, n, l}$ 得到式 (2.76)：
$$
\displaystyle J_{m} = \frac{1}{2} \epsilon_{m, n, l} M_{n, l}.
$$
这里不需要区分协变指标与逆变指标。

(3) 内禀对称性

设系统的对称性与时空无关，只与场的内部结构有关，$\Lambda \phi_{r}$ 仅仅是 $\phi_{r}$ 的线性组合，式 (2.78)：
$$
\displaystyle \Lambda \phi_{r} = \mathrm{i} \varepsilon \lambda_{r, s} \phi_{s}.
$$
代入式 (2.53)，取 $\Lambda x_{\mu} = 0$，得到式 (2.80)：
$$
\begin{aligned}
f_{\mu} &= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \, \Lambda \phi_{r} \\
&= \mathrm{i} \varepsilon \lambda_{r, s} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} \phi_{s},
\end{aligned}
$$
相应的 Noether 荷为式 (2.81)：
$$
\begin{aligned}
Q &= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \lambda_{r, s} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{0} \phi_{r})} \phi_{s}. \\
&= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \lambda_{r, s} \pi_{r} \phi_{s}.
\end{aligned}
$$

设描述复标量场 $\phi$ 的拉氏量密度有相位变换不变性，式 (2.82)：
$$
\begin{aligned}
& \Lambda \phi = \mathrm{i} \varepsilon \phi, \\
& \Lambda \phi^{\ast} = -\mathrm{i} \varepsilon \phi^{\ast}.
\end{aligned}
$$
视 $\phi$ 和 $\phi^{\ast}$ 为独立变量，守恒流为式 (2.83)：
$$
\displaystyle j_{\mu} = -\mathrm{i} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi)} \phi - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi^{\ast})} \phi^{\ast} \biggr).
$$

例 2.1：对称化能量—动量张量

定义修正能量—动量张量为式 (1)：
$$
\displaystyle T_{\mu, \nu} = \varTheta_{\mu, \nu} + \partial^{\sigma} \chi_{\sigma, \mu, \nu},
$$
其中张量 $\chi_{\sigma, \mu, \nu}$ 的前两指标反对称，式 (2)：
$$
\displaystyle \chi_{\mu, \sigma, \nu} = -\chi_{\sigma, \mu, \nu}.
$$
守恒定律在修正下不变，式 (3)：
$$
\begin{aligned}
\partial^{\mu} T_{\mu, \nu} &= \partial^{\mu} \varTheta_{\mu, \nu} + \partial^{\mu} \partial^{\sigma} \chi_{\sigma, \mu, \nu} \\
&= \partial^{\mu} \varTheta_{\mu, \nu} + \frac{1}{2} \, \partial^{\mu} \partial^{\sigma} (\chi_{\sigma, \mu, \nu} + \chi_{\mu, \sigma, \nu}) \\
&= \partial^{\mu} \varTheta_{\mu, \nu} \\
&= 0.
\end{aligned}
$$
变换 (1) 也不改变能量与动量，式 (4)：
$$
\begin{aligned}
\tilde{P}_{\nu} &= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, T_{0, \nu} \\
&= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \bigl( \varTheta_{0, \nu} + \partial^{\sigma} \chi_{\sigma, 0, \nu} \bigr) \\
&= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \bigl( \varTheta_{0, \nu} + \partial^{0} \underbrace{\chi_{0, 0, \nu}}_{0} + \partial^{k} \chi_{k, 0, \nu} \bigr) \\
&= \int_{V} \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x} \, \varTheta_{0, \nu} \\
&= P_{\nu},
\end{aligned}
$$
其中 $\partial^{k} \chi_{k, 0, \nu}$ 是 3 维散度，由 Gauss 定理化为 $\chi_{k, 0, \nu}$ 在表面上的积分，并且设 $\chi_{k, 0, \nu}$ 在无穷远减小得足够快。

设变换 (1) 使得修正张量对称，式 (5)：
$$
\displaystyle T_{\nu, \mu} = T_{\mu, \nu}.
$$
原本的角动量张量流改写为
$$
\begin{aligned}
M_{\mu, \nu, \lambda}(x) &= T_{\mu, \lambda} x_{\nu} - T_{\mu, \nu} x_{\lambda} \\
&\phantom{{} = {}} - (x_{\nu} \, \partial^{\sigma} \chi_{\sigma, \mu, \lambda} - x_{\lambda} \, \partial^{\sigma} \chi_{\sigma, \mu, \nu}) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} \phi_{s}.
\end{aligned}
$$
定义修正角动量张量流为式 (6)：
$$
\displaystyle \tilde{M}_{\mu, \nu, \lambda} \equiv T_{\mu, \lambda} x_{\nu} - T_{\mu, \nu} x_{\lambda},
$$
它满足守恒定律，式 (7)：
$$
\begin{aligned}
\partial^{\mu} \tilde{M}_{\mu, \nu, \lambda} &= (\partial^{\mu} T_{\mu, \lambda}) x_{\nu} + T_{\mu, \lambda} \Lambda_{\nu}^{\mu} - (\partial^{\mu} T_{\mu, \nu}) x_{\lambda} - T_{\mu, \nu} \Lambda_{\lambda}^{\mu} \\
&= T_{\nu, \lambda} - T_{\lambda, \nu} \\
&= 0.
\end{aligned}
$$
这说明存在前两指标反对称的张量 $\eta_{\sigma, \mu, \nu, \lambda}$，式 (9)：
$$
\displaystyle \eta_{\mu, \sigma, \nu, \lambda} = -\eta_{\sigma, \mu, \nu, \lambda},
$$
满足式 (8)：
$$
\displaystyle \tilde{M}_{\mu, \nu, \lambda} = M_{\mu, \nu, \lambda} + \partial^{\sigma} \eta_{\sigma, \mu, \nu, \lambda}.
$$
同能量—动量张量的修正，$\tilde{M}_{\mu, \nu, \lambda}$ 不改变相应的守恒量。

由式 (8)，有式 (13)：
$$
\begin{aligned}
\partial^{\sigma} \eta_{\sigma, \mu, \nu, \lambda} &= \tilde{M}_{\mu, \nu, \lambda} - M_{\mu, \nu, \lambda} \\
&= (x_{\nu} \, \partial^{\sigma} \chi_{\sigma, \mu, \lambda} - x_{\lambda} \, \partial^{\sigma} \chi_{\sigma, \mu, \nu}) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} \phi_{s} \\
&= \partial^{\sigma} (x_{\nu} \chi_{\sigma, \mu, \lambda} - x_{\lambda} \chi_{\sigma, \mu, \nu}) + \chi_{\sigma, \mu, \nu} \Lambda_{\lambda}^{\sigma} - \chi_{\sigma, \mu, \lambda} \Lambda_{\nu}^{\sigma} \\
&\phantom{{} = {}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} \phi_{s} \\
&= \partial^{\sigma} (x_{\nu} \chi_{\sigma, \mu, \lambda} - x_{\lambda} \chi_{\sigma, \mu, \nu}) \\
&\phantom{{} = {}} + \chi_{\lambda, \mu, \nu} - \chi_{\nu, \mu, \lambda} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} \phi_{s},
\end{aligned}
$$
选取式 (12)：
$$
\displaystyle \eta_{\sigma, \mu, \nu, \lambda} = x_{\nu} \chi_{\sigma, \mu, \lambda} - x_{\lambda} \chi_{\sigma, \mu, \nu},
$$
其中，$\chi_{\sigma, \mu, \nu}$ 满足式 (14)：
$$
\displaystyle \chi_{\lambda, \mu, \nu} - \chi_{\nu, \mu, \lambda} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} \phi_{s}.
$$
等号两边都关于 $\nu, \lambda$ 反对称，解得式 (15)：
$$
\displaystyle \chi_{\nu, \mu, \lambda} = -\frac{1}{2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} \phi_{s} + a_{\nu, \mu, \lambda},
$$
其中 $a_{\nu, \mu, \lambda}$ 也关于 $\nu, \lambda$ 反对称并使得等号右边整体关于 $\mu, \nu$ 反对称。构造式 (17)：
$$
\displaystyle \chi_{\nu, \mu, \lambda} = -\frac{1}{2} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\nu} \phi_{r})} (I_{\mu, \lambda})_{r, s} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\lambda} \phi_{r})} (I_{\mu, \nu})_{r, s} \biggr) \phi_{s},
$$
满足式 (18)：
$$
\begin{aligned}
\chi_{\mu, \nu, \lambda} &= -\frac{1}{2} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\nu} \phi_{r})} (I_{\mu, \lambda})_{r, s} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\lambda} \phi_{r})} (I_{\nu, \mu})_{r, s} \biggr) \phi_{s}, \\
&= -\frac{1}{2} \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\nu} \phi_{r})} (I_{\mu, \lambda})_{r, s} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\mu} \phi_{r})} (I_{\nu, \lambda})_{r, s} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{\lambda} \phi_{r})} (I_{\mu, \nu})_{r, s} \biggr) \phi_{s}, \\
&= -\chi_{\nu, \mu, \lambda}.
\end{aligned}
$$

2.5 Poincaré 群的生成元

由 Noether 定理，每种连续的对称性都对应守恒量 (2.84)：
$$
\begin{aligned}
G &= \int \mathrm{d}^{3} x \, f_{0} \\
&= \int \mathrm{d}^{3} x \, \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{0} \phi_{r})} \, \Lambda \phi_{r} - \biggl( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^{0} \phi_{r})} \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\nu}} - g_{0, \nu} \mathcal{L} \biggr) \, \Lambda x^{\nu} \biggr) \\
&= \int \mathrm{d}^{3} x \, \biggl( \pi_{r} \, \Lambda \phi_{r} - \biggl( \pi_{r} \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\nu}} - g_{0, \nu} \mathcal{L} \biggr) \, \Lambda x^{\nu} \biggr).
\end{aligned}
$$
守恒量 $G$ 与场 $\phi_{r}$ 的 Poisson 括号就是修正变分 $\tilde{\Lambda} \phi_{r}$，式 (2.85)：
$$
\displaystyle \lbrace \phi_{r}, G \rbrace_{\text{PB}} = \tilde{\Lambda} \phi_{r}.
$$
因此 $G$ 称为对称变换的生成元。（注意不是 Lorentz 群的无穷小生成元 $I^{\mu, \nu}$。）

现在证明式 (2.85)。首先证明 Poisson 括号可化简关于 $\pi_{r}$ 的泛函导数，式 (2.86)：
$$
\begin{aligned}
\lbrace \phi_{r}, G \rbrace_{\text{PB}} &= \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \, \biggl( \frac{\Lambda \phi_{r}(x)}{\Lambda \phi_{s}(x')} \frac{\Lambda G}{\Lambda \pi_{s}} - \frac{\Lambda \phi_{r}(x)}{\Lambda \pi_{s}(x')} \frac{\Lambda G}{\Lambda \phi_{s}} \biggr) \\
&= \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \, \frac{\Lambda G}{\Lambda \pi_{s}} \Lambda_{r, s} \, \Lambda^{(3)}(\boldsymbol{x}' - \boldsymbol{x}) \\
&= \frac{\Lambda G}{\Lambda \pi_{r}}.
\end{aligned}
$$
按式 (2.84) 展开 $G$：
$$
\begin{aligned}
\frac{\Lambda G}{\Lambda \pi_{r}} &= \frac{\Lambda}{\Lambda \pi_{r}} \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \, \biggl( \pi_{s} \, \Lambda \phi_{s} - \biggl( \pi_{s} \frac{\partial \phi_{s}}{\partial x^{\nu}} - g_{0, \nu} \mathcal{L} \biggr) \, \Lambda x^{\nu} \biggr) \\
&= \frac{\Lambda}{\Lambda \pi_{r}} \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \, \biggl( \pi_{s} \, \Lambda \phi_{s} - \pi_{s} \frac{\partial \phi_{s}}{\partial x^{k}} \, \Lambda x^{k} - \biggl( \pi_{r} \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{0}} - g_{0, 0} \mathcal{L} \biggr) \, \Lambda x^{0} \biggr) \\
&= \frac{\Lambda}{\Lambda \pi_{r}} \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \, \biggl( \pi_{s} \biggl( \Lambda \phi_{s} - \frac{\partial \phi_{s}}{\partial x^{k}} \, \Lambda x^{k} \biggr) - \bigl( \pi_{s} \dot{\phi}_{s} - \mathcal{L} \bigr) \, \Lambda x^{0} \biggr) \\
&= \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \, \frac{\Lambda \pi_{s}(x')}{\Lambda \pi_{r}(x)} \biggl( \Lambda \phi_{s} - \frac{\partial \phi_{s}}{\partial x^{k}} \, \Lambda x^{k} \biggr) \\
&\hphantom{{} = {}} - \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \, \biggl( \frac{\Lambda \pi_{s}(x')}{\Lambda \pi_{r}(x)} \dot{\phi}_{s} + \pi_{s} \frac{\Lambda \dot{\phi}_{s}(x')}{\Lambda \pi_{r}(x)} - \frac{\Lambda \mathcal{L}(x')}{\Lambda \pi_{r}(x)} \biggr) \, \Lambda x^{0} \\
&= \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \, \frac{\Lambda \pi_{s}(x')}{\Lambda \pi_{r}(x)} \biggl( \Lambda \phi_{s} - \frac{\partial \phi_{s}}{\partial x^{\mu}} \, \Lambda x^{\mu} \biggr) \\
&\hphantom{{} = {}} - \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \, \biggl( \pi_{s} \frac{\Lambda \dot{\phi}_{s}(x')}{\Lambda \pi_{r}(x)} - \frac{\Lambda \mathcal{L}(x')}{\Lambda \pi_{r}(x)} \biggr) \, \Lambda x^{0} \\
&= \Lambda \phi_{r} - \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\mu}} \, \Lambda x^{\mu} \\
&\hphantom{{} = {}} - \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}'' \, \frac{\Lambda \dot{\phi}_{t}(x'')}{\Lambda \pi_{r}(x)} \biggl( \pi_{s} \frac{\Lambda \dot{\phi}_{s}(x')}{\Lambda \dot{\phi}_{t}(x'')} - \frac{\Lambda \mathcal{L}(x')}{\Lambda \dot{\phi}_{t}(x'')} \biggr) \, \Lambda x^{0} \\
&= \Lambda \phi_{r} - \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\mu}} \, \Lambda x^{\mu} \\
&\hphantom{{} = {}} - \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}' \int \mathrm{d}^{3} \boldsymbol{x}'' \, \frac{\Lambda \dot{\phi}_{t}(x'')}{\Lambda \pi_{r}(x)} (\pi_{s} \Lambda_{s, t} - \pi_{t}) \, \Lambda^{(3)}(x'' - x') \, \Lambda x^{0} \\
&= \Lambda \phi_{r} - \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\mu}} \, \Lambda x^{\mu} \\
&= \tilde{\Lambda} \phi_{r}.
\end{aligned}
$$
上面的运算用到了泛函导数的链式法则，并且注意到 $\dot{\phi}_{r}$ 和 $\pi_{r}$ 彼此不独立。

狭义相对论下，时空的平移不变性、各向同性分别导出守恒流 (2.60) 和 (2.70)，相应的变换构成 10 维的非齐次 Lorentz 群，即 Poincaré 群。在坐标变换
$$
\displaystyle \Lambda x_{\mu}' = x_{\mu} + x^{\nu} \, \Lambda \omega_{\mu, \nu} + \varepsilon_{\mu}
$$
下，生成元写作式 (2.93)：
$$
\displaystyle G = -\varepsilon_{\mu} P^{\mu} + \frac{1}{2} M^{\mu, \nu} \, \Lambda \omega_{\mu, \nu}.
$$
将式 (2.56)、(2.57)、(2.61)、(2.64)、(2.93) 代入式 (2.85)，
$$
\displaystyle \biggl\lbrace \phi_{r}, -\varepsilon_{\mu} P^{\mu} + \frac{1}{2} M^{\mu, \nu} \, \Lambda \omega_{\mu, \nu} \biggr\rbrace_{\text{PB}} = \frac{1}{2} (I^{\mu, \nu})_{r, s} \phi_{s} \, \Lambda \omega_{\mu, \nu} - \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\mu}} (x^{\nu} \, \Lambda \omega_{\mu, \nu} + \varepsilon_{\mu}),
$$
对照 $\varepsilon_{\mu}, \Lambda \omega_{\mu, \nu}$ 的系数可得式 (2.94) 和 (2.95)：
$$
\begin{aligned}
& \lbrace \phi_{r}, P^{\mu} \rbrace_{\text{PB}} = \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\mu}}, \\
& \lbrace \phi_{r}, M^{\mu, \nu} \rbrace_{\text{PB}} = (I^{\mu, \nu})_{r, s} \phi_{s} + x^{\mu} \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\nu}} - x^{\nu} \frac{\partial \phi_{r}}{\partial x^{\mu}}.
\end{aligned}
$$
式 (2.95) 的改写利用了 $I^{\mu, \nu}$ 的反对称性。生成元 $P^{\mu}$ 和 $M^{\mu, \nu}$ 之间通过 Poincaré 代数相联系，在经典场论下就是 Poisson 括号，式 (2.96)：
$$
\begin{aligned}
& \lbrace P^{\mu}, P^{\nu} \rbrace_{\text{PB}} = 0, \\
& \bigl\lbrace M^{\mu, \nu}, P^{\lambda} \bigr\rbrace_{\text{PB}} = g^{\nu, \lambda} P^{\mu} - g^{\mu, \lambda} P^{\nu}, \\
& \lbrace M^{\mu, \nu}, M^{\sigma, \tau} \rbrace_{\text{PB}} = g^{\nu, \sigma} M^{\mu, \tau} + g^{\mu, \tau} M^{\nu, \sigma} - g^{\nu, \tau} M^{\mu, \sigma} - g^{\mu, \sigma} M^{\nu, \tau}.
\end{aligned}
$$
Poincaré 代数表达的是时空的基本性质，因此在量子场论下也成立类似的关系，区别是把 Poisson 括号替换为对易子。